Landens förvandling

Landens transformation är en kartläggning av parametrarna för en elliptisk integral , användbar för effektiv numerisk utvärdering av elliptiska funktioner. Det berodde ursprungligen på John Landen och återupptäcktes självständigt av Carl Friedrich Gauss .

Påstående

Den ofullständiga elliptiska integralen av det första slaget $F$ är

F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi , \sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},

där $\alpha$ är den modulära vinkeln . Landens transformation säger att om $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ , $\varphi _{0}$ , $\varphi _ {1}$ är sådana att $(1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0} )=2$ och $\tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\ tan \varphi _{0}$ , alltså

{\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _ {1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}

Landens transformation kan på liknande sätt uttryckas i termer av elliptisk modul $k=\sin \alpha$ och dess komplement $k'=\cos \alpha$ .

Komplett elliptisk integral

I Gauss formulering, värdet av integralen

I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\ frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta

är oförändrad om $a$ och $b$ ersätts med sina aritmetiska respektive geometriska medelvärden , dvs.

a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},

I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2} (\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .

Därför,

I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2 }}}{a}}\right),

I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {ab}{a+b}}\right).

Av Landens förvandling drar vi slutsatsen

K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}} }{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {ab}{a+b}}\right)

och $I_{1}=I$ .

Bevis

Omvandlingen kan ske genom integration genom substitution . Det är bekvämt att först gjuta integralen i en algebraisk form genom att ersätta $\theta =\arctan(x/b)$ , $d\theta =(\cos ^{2}(\theta )/b)dx$ ger

I= \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\ sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2 })(x^{2}+b^{2})}}}\,dx

En ytterligare ersättning av $x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}$ ger önskat resultat

{\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{ \frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{- \infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2 }\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^ {2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right )^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}

Detta senare steg underlättas genom att skriva det radikala som

{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^ {2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}

och den oändliga som

dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt

så att faktorn $x$ identifieras och avbryts mellan de två faktorerna.

Aritmetiskt-geometriskt medelvärde och Legendres första integral

Om transformationen itereras ett antal gånger så konvergerar parametrarna $a$ och $b$ mycket snabbt till ett gemensamt värde, även om de initialt är av olika storleksordning. Begränsningsvärdet kallas det aritmetiskt-geometriska medelvärdet av $a$ och $b$ , $\operatorname {AGM} (a,b)$ . I gränsen blir integranden en konstant, så att integrationen är trivial

, b )

Integralen kan också kännas igen som en multipel av Legendres kompletta elliptiska integral av det första slaget . Att sätta $b^{2}=a^{2}(1-k^{2})$

I={\frac {1}{a }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}} \,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi}{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k )

För varje ${\displaystyle a} är$ det aritmetiskt-geometriska medelvärdet och den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget relaterade till