Landaus funktion

I matematik definieras Landaus funktion g ( n ), uppkallad efter Edmund Landau , för varje naturligt tal n som den största ordningen av ett element i den symmetriska gruppen S _n . På motsvarande sätt g ( n ) den största minsta gemensamma multipeln (lcm) av någon partition av n , eller det maximala antalet gånger en permutation av n element kan appliceras rekursivt på sig själv innan den återgår till sin startsekvens.

Till exempel, 5 = 2 + 3 och lcm(2,3) = 6. Ingen annan partition på 5 ger en större lcm, så g ( 5 ) = 6. Ett element av ordningen 6 i gruppen S ₅ kan skrivas i cykelnotation som (1 2) (3 4 5). Observera att samma argument gäller för talet 6, det vill säga g (6) = 6. Det finns godtyckligt långa sekvenser av på varandra följande tal n , n + 1, …, n + m där funktionen g är konstant.

Heltalssekvensen g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g ( 5 ) = 6 , g ( 6 ) = 6, g (7) = 12, g (8) = 15, ... (sekvens A000793 i OEIS ) är uppkallad efter Edmund Landau , som bevisade 1902 att

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt { n\ln(n)}}}=1$

(där ln anger den naturliga logaritmen ). På motsvarande sätt (med lite-o-notation ), $g(n)=e^{(1+o(1)){\sqrt { n\ln n}}}$ .

Uttalandet att

$\ln g(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}$

för alla tillräckligt stort n , där Li ⁻¹ betecknar inversen av den logaritmiska integralfunktionen , är ekvivalent med Riemannhypotesen .

Det kan man visa

$g(n)\leq e^{n/e}$

med den enda likheten mellan funktionerna vid n = 0, och faktiskt

$g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).$

Anteckningar

• E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Om den maximala ordningen av permutationer av given grad]", Arch. Matematik. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, "The maximum order of an element of a finite symmetric group", American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, s. 497–506.
• J.-L. Nicolas, "Om Landaus funktion g ( n )", i The Mathematics of Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag, 1997, s. 228–240.

externa länkar

• OEIS -sekvens A000793 (Landaus funktion på de naturliga talen)