Landau–Lifshitz modell

För en annan Landau-Lifshitz-ekvation som beskriver magnetism, se Landau-Lifshitz-Gilbert-ekvationen .

I fasta tillståndets fysik är Landau -Lifshitz-ekvationen ( LLE ), uppkallad efter Lev Landau och Evgeny Lifshitz , en partiell differentialekvation som beskriver tidsutvecklingen av magnetism i fasta ämnen, beroende på 1 tidsvariabel och 1, 2 eller 3 rymdvariabler .

Landau–Lifshitz ekvation

LLE beskriver en anisotrop magnet. Ekvationen beskrivs i ( Faddeev & Takhtajan 2007, kapitel 8) enligt följande: Det är en ekvation för ett vektorfält S , med andra ord en funktion på R ^{1+ n} som tar värden i R ³ . Ekvationen beror på en fast symmetrisk 3 x 3 matris J , vanligtvis antas vara diagonal ; det vill säga $J=\operatörsnamn {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})$ . Den ges av Hamiltons rörelseekvation för Hamiltonian

$H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _ {i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\ qquad (1)$

(där J ( S ) är den kvadratiska formen av J applicerad på vektorn S ) vilket är

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)$

I 1+1 dimensioner är denna ekvation

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\ partiell x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)$

I 2+1 dimensioner tar denna ekvation formen

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t} }=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\ mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)$

som är den (2+1)-dimensionella LLE. För det (3+1)-dimensionella fallet ser LLE ut

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\ mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)$

Integrerbara reduktioner

I allmänhet är LLE (2) icke-integrerbar. Men den medger de två integrerbara minskningarna:

a) i 1+1-dimensionerna, det vill säga ekv. (3), det är integrerbart

b) när $J=0$ . I detta fall förvandlas den (1+1)-dimensionella LLE (3) till den kontinuerliga klassiska Heisenbergs ferromagnetekvation (se t.ex. Heisenbergmodellen (klassisk) ) som redan är integrerbar.

Se även

• Icke-linjär Schrödinger-ekvation
• Heisenberg modell (klassisk)
• Snurra våg
• Mikromagnetism
• Ishimoris ekvation
• Magnet
• Ferromagnetism

•    Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonska metoder i teorin om solitoner , Classics in Mathematics, Berlin: Springer, s. x+592, doi : 10.1007/978-3-540-69969-9 , ISBN 978-3- 540-69843-2 , MR 2348643
•   Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitz Equations , Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• Kosevich AM , Ivanov BA, Kovalev AS Icke-linjära magnetiseringsvågor. Dynamiska och topologiska solitoner. – Kiev: Naukova Dumka , 1988. – 192 s.