Lamm–Oseen virvel

I vätskedynamik modellerar Lamb-Oseen-virveln en linjevirvel som sönderfaller på grund av viskositet . Denna virvel är uppkallad efter Horace Lamb och Carl Wilhelm Oseen .

Vektorplot av virvelhastighetsfältet Lamb–Oseen.

Utvecklingen av en Lamb–Oseen-virvel i luft i realtid. Fritt flytande testpartiklar avslöjar hastighets- och virvelmönstret. (skala: bilden är 20 cm bred)

Matematisk beskrivning

Oseen letade efter en lösning för Navier–Stokes ekvationer i cylindriska koordinater $(r,\theta ,z)$ med hastighetskomponenter $( v_{r},v_{\theta },v_{z})$ i formuläret

$v_{r}=0,\quad v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2 \pi r}}g(r,t),\quad v_{z}=0.$

där $\Gamma$ är cirkulationen av virvelkärnan. Navier-Stokes ekvationer leder till

${\frac {\partial g}{\partial t}}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}\right)$

som, under förutsättning att den är regelbunden vid $r=0$ och blir enhet som $r\rightarrow \infty$ , leder till

$g(r,t)=1-\mathrm {e} ^{-r^{2}/4\nu t},$

där $\nu$ är vätskans kinematiska viskositet . Vid $t=0$ har vi en potentiell virvel med koncentrerad virvel vid $z$ -axeln; och denna virvel diffunderar bort allteftersom tiden går.

Den enda virvelkomponenten som inte är noll är i $z$ -riktningen, givet av

$\omega _{z}(r,t)={\frac {\Gamma }{4\pi \nu t}}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4\nu t} .$

Tryckfältet säkerställer helt enkelt att virveln roterar i omkretsriktningen , vilket ger centripetalkraften

${\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r},$

där ρ är den konstanta densiteten

Generaliserad Oseen virvel

Den generaliserade Oseen-virveln kan erhållas genom att leta efter lösningar av formen

$v_{r}=-\gamma (t)r,\ quad v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r,t),\quad v_{z}=2\gamma (t)z$

som leder till ekvationen

${\frac {\partial g}{\partial t}}-\gamma r{\frac {\partial g}{\partial r}}=\nu \left({\frac {\partial ^{2 }g}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}\right).$

Självliknande lösning finns för koordinaten ${\displaystyle \eta =r/\varphi (t)} ,$ förutsatt $\varphi \varphi '+ \gamma \varphi ^{2}=a$ , där $a$ är en konstant, i vilket fall $g=1-\mathrm {e} ^{-a\eta ^{2}/2\nu }$ . Lösningen för $\varphi (t)$ kan skrivas enligt Rott (1958) som

$\varphi ^{2}=2a\ exp \left(-2\int _{0}^{t}\gamma (s)\,\mathrm {d} s\right)\int _{c}^{t}\exp \left(2\int _{0}^{u}\gamma (s)\,\mathrm {d} s\right)\,\mathrm {d} u,$

där $c$ är en godtycklig konstant. För $\gamma =0$ återvinns den klassiska Lamb–Oseen-virveln. Fallet $\gamma =k$ motsvarar det axisymmetriska stagnationspunktsflödet , där $k$ är en konstant. När $c=-\infty$ , ${\displaystyle \varphi ^{2}=a/k} ,$ erhålls en Burgers-virvel . För godtycklig $c$ blir lösningen $\varphi ^{2}=a(1+\beta \mathrm {e} ^ {-2kt})/k$ , där $\beta$ är en godtycklig konstant. Som $t\rightarrow \infty$ återvinns Burgers vortex .

Se även

• Rankine virvel och Kaufmann (Scully) virvel är vanliga förenklade approximationer för en viskös virvel.