Lagranges identitet (gränsvärdesproblem)

För annan användning, se Lagranges identitet (disambiguation) .

I studien av vanliga differentialekvationer och deras associerade problem med gränsvärde , ger Lagranges identitet , uppkallad efter Joseph Louis Lagrange , de gränstermer som uppstår från integration av delar av en självadjoint linjär differentialoperator . Lagranges identitet är grundläggande i Sturm-Liouville-teorin . I mer än en oberoende variabel generaliseras Lagranges identitet av Greens andra identitet .

Påstående

I allmänna termer är Lagranges identitet för alla funktionspar u och v i funktionsutrymmet C ² (det vill säga två gånger differentierbar) i n dimensioner:

$$vL[u]-uL^{*}[v]=\nabla \cdot {\boldsymbol {M}},$$

var:

$$M_{i}=\summa _{j=1}^{n}a_{ij}\left(v{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}-u{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}}\right)+uv\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial x_{j}}}\höger),$$

och

$$\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=\summa _{i=1}^{n}{\frac {\partial } {\partial x_{i}}}M_{i},$$

Operatören L och dess adjoint operatör L ^* ges av:

$$L[u]=\ summa _{i,\ j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\summa _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu$$

och

$$L^{*}[v]=\summa _{i,\ j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}(a_{i,j}v)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial (b_{i}v)}{\partial x_{i}}}+cv .$$

Om Lagranges identitet är integrerad över en avgränsad region, kan divergenssatsen användas för att bilda Greens andra identitet i formen:

$$\int _{\Omega }vL[u]\,d\Omega =\ int _{\Omega }uL^{*}[v]\ d\Omega +\int _{S}{\boldsymbol {M\cdot n}}\,dS,$$

där S är ytan som begränsar volymen Ω och n är enheten utåtriktad mot ytan S .

Vanliga differentialekvationer

Alla andra ordningens vanliga differentialekvationer av formen:

$$a(x){\frac {d^{2} y}{dx^{2}}}+b(x){\frac {dy}{dx}}+c(x)y+\lambda w(x)y=0,$$

kan sättas i formen:

$${\frac {d}{dx}}\left(p (x){\frac {dy}{dx}}\right)+\left(q(x)+\lambda w(x)\right)y(x)=0.$$

Denna allmänna form motiverar introduktionen av Sturm–Liouville-operatorn L , definierad som en operation på en funktion f sådan att:

$$Lf={\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {df}{dx}}\right)+q(x)f.$$

Det kan visas att för alla u och v för vilka de olika derivatorna finns, gäller Lagranges identitet för vanliga differentialekvationer:

$$uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx} }\eller hur].$$

För vanliga differentialekvationer definierade i intervallet [0, 1], kan Lagranges identitet integreras för att erhålla en integralform (även känd som Greens formel):

$$\int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^ {1},$$

där $p=P(x)$ , $q=Q(x)$ , $u=U(x)$ och $v=V(x)$ är funktioner av $x$ . $u$ och $v$ med kontinuerliga andraderivator på intervallet $[0,1]$ .

Formbevis för vanliga differentialekvationer

Vi har:

$$uLv=u\left[{\frac {d}{dx}}\left(p (x){\frac {dv}{dx}}\right)+q(x)v\right],$$

och

$$vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right)+q(x)u\right].$$

Subtrahera:

$$uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)-v{\frac {d}{dx}} \left(p(x){\frac {du}{dx}}\höger).$$

De ledande multiplicerade u och v kan flyttas in i differentieringen, eftersom de extra differentierade termerna i u och v är desamma i de två subtraherade termerna och helt enkelt tar bort varandra. Således,

$${\begin{aligned}uLv-vLu&={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{ dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),\\&={\frac {d}{dx }}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],\end{aligned}}$$

vilket är Lagranges identitet. Integrering från noll till ett:

$$\int _{0}^{1}dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^ {1},$$

som skulle visas.