Lady Windermere's Fan (matematik)

I matematik är Lady Windermere's Fan en teleskopisk identitet som används för att relatera globala och lokala fel i en numerisk algoritm . Namnet kommer från Oscar Wildes pjäs Lady Windermere's Fan, A Play About a Good Woman från 1892 .

Lady Windermeres fläkt för en funktion av en variabel

Låt $E(\ \tau ,t_{0},y(t_{0})\ )$ vara den exakta lösningsoperatorn så att:

$y(t_{0}+\tau )=E(\tau ,t_{0},y(t_{ 0}))\ y(t_{0})$

med $t_{0}$ som anger den initiala tiden och $y(t)$ funktionen som ska approximeras med en given $y(t_{0})$ .

Låt vidare $y_{n}$ , $n\in \mathbb {N} ,\ n\leq N$ vara den numeriska approximationen vid tidpunkten $t_ {n}$ , $t_{0}<t_{n}\leq T=t_{N}$ . $y_{n}$ kan uppnås med hjälp av approximationsoperatorn $\Phi (\ h_{n},t_{n}, y(t_{n})\ )$ så att:

$y_{n}=\Phi (\ h_{n-1},t_{n- 1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}\quad$ med $h_{n}=t_{n+1}- t_{n}$

Approximationsoperatorn representerar det numeriska schemat som används. För en enkel explicit framåt Euler-metod med stegbredd $h$ skulle detta vara: $\Phi _{\text{Euler}}(\ h,t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}=(1 +h{\frac {d}{dt}})\ y_{n-1}$

Det lokala felet $d_{n}$ ges sedan av:

$d_{n}:=D(\ h_{n-1},t_{n- 1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}:=\left[\Phi (\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n- 1})\ )-E(\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\right]\ y_{n-1}$

I förkortning skriver vi:

$\Phi (h_{n}):=\Phi (\ h_{n},t_{n},y( t_{n})\ )$

$E(h_{n}):=E(\ h_{n},t_ {n},y(t_{n})\ )$

$D(h_{n}):=D(\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )$

Sedan skriver Lady Windermere's Fan för en funktion av en enda variabel $\displaystyle t}$ som:

${\ displaystyle y_{N}-y(t_{N})=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}) )+\summa _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}}$

med ett globalt fel på $y_{N}-y(t_{N})$

Förklaring

${\begin{aligned}y_{N}-y(t_{N})&{}=y_{N}-\underbrace {\prod _{j =0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y (t_{0})} _{=0}-y(t_{N})\\&{}=y_{N}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{ j})\ y(t_{0})+\underbrace {\sum _{n=0}^{N-1}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j })\ y(t_{n})-\summa _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_ {n})} _{=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})-\summa _{n=N}^{N }\left[\prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\right]\ y(t_{n})=\prod _{j=0}^{N- 1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})-y(t_{N})}\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi ( h_{j})\ y_{0}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\summa _{n=1} ^{N}\ \prod _{j=n-1}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n-1})-\summa _{n=1}^{ N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})\\&{}=\prod _{j=0}^{N -1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{ N-1}\Phi (h_{j})\vänster[\Phi (h_{n-1})-E(h_{n-1})\höger]\ y(t_{n-1})\\ &{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1} ^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}\end{aligned}}$

Se även

• Baker–Campbell–Hausdorff formel
• Numeriskt fel