LaSalles invariansprincip

LaSalles invariansprincip (även känd som invariansprincipen , Barbashin-Krasovskii-LaSalle-principen eller Krasovskii-LaSalle-principen ) är ett kriterium för den asymptotiska stabiliteten hos ett autonomt (eventuellt olinjärt) dynamiskt system .

Global version

Antag att ett system representeras som

${\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)$

där $\mathbf {x}$ är vektorn för variabler, med

$f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .$

Om en $C^{1}$ (se Jämnhet ) funktion $V(\mathbf {x} )$ kan hittas så att

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$ för alla $\mathbf {x}$ (negativ semidefinite),

då är uppsättningen ackumuleringspunkter för valfri bana i ${\mathcal {I}}$ där ${\mathcal {I}}$ är föreningen av kompletta banor som helt och hållet ingår i mängden $\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}$ .

Om vi ​​dessutom har att funktionen $V$ är positiv definit, dvs

$V(\mathbf {x} )>0$ , för alla $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

$V(\ mathbf {0} )=0$

och om ${\mathcal {I}}$ inte innehåller någon bana för systemet förutom den triviala banan $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0}$ för $t\geq 0$ , då är ursprunget asymptotiskt stabilt .

Dessutom, om $V$ är radiellt obegränsad, dvs

$V(\mathbf {x} )\to \infty$ , som $\Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty$

då är ursprunget globalt asymptotiskt stabilt .

Lokal version

Om

$V(\mathbf {x} )>0$ , när $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

${\ punkt {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$

håll endast för $\mathbf {x}$ i någon stadsdel $D$ av ursprunget och mängden

$\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\cap D$

innehåller inga banor för systemet förutom banan ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0} ,$ sedan den lokala versionen av invariansen principen säger att ursprunget är lokalt asymptotiskt stabilt .

Relation till Lyapunov-teorin

Om ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ är negativ definit, så är den globala asymptotiska stabiliteten för ursprunget en konsekvens av Lyapunovs andra sats . Invariansprincipen ger ett kriterium för asymptotisk stabilitet i det fall då ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ endast är negativ semidefinit.

Exempel

En plot av vektorfält $({\dot {x}},{\dot {y}})=(-yx^{3 },x^{5})$ och Lyapunov-funktionen $V(x,y)=x^{6}+3y^{2}$ .

Enkelt exempel

Exempel taget från.

Betrakta vektorfältet $({\dot {x}},{\dot {y}})=(-yx^{3} ,x^{5})$ i planet. Funktionen $V(x,y)=x^{6}+3y^{2}$ uppfyller ${\ punkt {V}}=-6x^{8}$ , och är radiellt obegränsad, vilket visar att ursprunget är globalt asymptotiskt stabilt.

Pendel med friktion

Detta avsnitt kommer att tillämpa invariansprincipen för att fastställa den lokala asymptotiska stabiliteten hos ett enkelt system, pendeln med friktion. Detta system kan modelleras med differentialekvationen

$ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}$

där $\theta$ är vinkeln pendeln gör med den vertikala normalen, $m$ är pendelns massa, $l$ är längden på pendeln, $k$ är friktionskoefficienten och g är acceleration på grund av gravitation.

Detta kan i sin tur skrivas som ekvationssystemet

${\dot {x}}_{1}=x_{2}$

${\dot {x }}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}$

Med hjälp av invariansprincipen kan det visas att alla banor som börjar i en boll av viss storlek runt origo $x_{1}=x_{2}=0$ asymptotiskt konvergerar till origo. Vi definierar $V(x_{1},x_{2})$ som

$V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l} }(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}$

Denna $V(x_{1},x_{2})$ är helt enkelt systemets skalade energi. Tydligen är $V(x_{1},x_{2})$ positiv definit i en öppen boll med radien $\pi$ runt origo. Beräknar derivatan,

${\dot {V}}(x_{1},x_{ 2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{ \frac {k}{m}}x_{2}^{2}$

Observera att $V(0)={\dot {V}}(0)=0$ . Om det vore sant att ${\displaystyle {\dot {V}}<0} ,$ skulle vi kunna dra slutsatsen att varje bana närmar sig ursprunget genom Lyapunovs andra sats . Tyvärr är ${\dot {V}}\leq 0$ och ${\dot {V}}$ endast negativ halvdefinitiv eftersom $x_{1}$ kan vara icke-noll när ${\dot {V}}=0$ . Dock uppsättningen

$S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0 \}$

som helt enkelt är uppsättningen

$S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}$

0 innehåller inte någon bana för systemet, förutom den triviala banan x = . Faktum är att om någon gång $t$ , $x_{2}(t)=0$ , måste $x_{1}$ vara mindre än $\pi$ bort från ursprunget, $\sin x_{1}\neq 0$ och ${\dot {x}}_{2 }(t)\neq 0$ . Som ett resultat kommer banan inte att stanna i uppsättningen $S$ .

Alla villkor för den lokala versionen av invariansprincipen är uppfyllda, och vi kan dra slutsatsen att varje bana som börjar i något område av ursprunget kommer att konvergera till ursprunget som t → ∞ {\displaystyle t\ $}$ .

Historia

Det allmänna resultatet upptäcktes oberoende av JP LaSalle (då vid RIAS ) och NN Krasovskii , som publicerades 1960 respektive 1959. Medan LaSalle var den första författaren i väst som publicerade den allmänna satsen 1960, meddelades ett specialfall av satsen 1952 av Barbashin och Krasovskii , följt av en publicering av det allmänna resultatet 1959 av Krasovskii .

Se även

• Stabilitetsteori
• Lyapunov stabilitet

Original papper

• LaSalle, JP Några förlängningar av Liapunovs andra metod, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, s. 520–527, 1960. ( PDF Arkiverad 2019-04-30 på Wayback Machine )
• Barbashin, EA; Nikolai N. Krasovskii (1952). Об устойчивости движения в целом [Om stabiliteten i rörelse som helhet]. Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska). 86 : 453-456.
• Krasovskii, NN Problems of the Theory of Stability of Motion, (ryska), 1959. Engelsk översättning: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

Läroböcker

• LaSalle, JP ; Lefschetz, S. (1961). Stabilitet med Liapunovs direkta metod . Akademisk press.
•   Haddad, WM ; Chellaboina, VS (2008). Icke-linjära dynamiska system och kontroll, ett Lyapunov-baserat tillvägagångssätt . Princeton University Press. ISBN 9780691133294 .
•   Teschl, G. (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
•   Wiggins, S. (2003). Introduktion till tillämpade icke-linjära dynamiska system och kaos (2 uppl.). New York City : Springer Verlag . ISBN 0-387-00177-8 .

Föredrag

• Texas A&M University anteckningar om invariansprincipen ( PDF )
• NC State University noterar LaSalles invariansprincip ( PDF ).
• Caltech noterar LaSalles invariansprincip ( PDF ).
• MIT OpenCourseware-anteckningar om Lyapunovs stabilitetsanalys och invariansprincipen ( PDF ).
• Purdue University anteckningar om stabilitetsteori och LaSalles invariansprincip ( PDF .

1. ^ Föreläsningsanteckningar om olinjär kontroll , University of Notre Dame, Instruktör: Michael Lemmon, föreläsning 4.
2. ^ ibid.
3. ^ Föreläsningsanteckningar om olinjär analys , National Taiwan University, Instruktör: Feng-Li Lian, föreläsning 4-2.
4. ^ Vidyasagar, M. Icke-linjär systemanalys, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.