Kvartalsperiod

Inom matematiken är kvartsperioderna K ( m ) och i K ′ ( m ) specialfunktioner som förekommer i teorin om elliptiska funktioner .

Kvartalsperioderna K och i K ′ ges av

$K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}$

och

${\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,$

När m är ett reellt tal, 0 < m < 1, då är både K och K ′ reella tal. Enligt konventionen kallas K den reella kvartalsperioden och i K ′ kallas den imaginära kvartalsperioden . Vilket som helst av talen m , K , K ′ eller K ′/ K bestämmer unikt de andra.

Dessa funktioner förekommer i teorin om jakobianska elliptiska funktioner ; de kallas kvartsperioder eftersom de elliptiska funktionerna $\operatorname {sn} u$ och $\operatorname {cn} u$ är periodiska funktioner med punkterna $4K$ och $4{\rm {i}}K'.$ Men funktionen $\operatorname {sn}$ är också periodisk med en mindre period (i termer av det absoluta värdet) än ${ \displaystyle 4\mathrm {i} K'}$ , nämligen $2\mathrm {i} K'$ .

Notation

Kvarteringsperioderna är i huvudsak den elliptiska integralen av det första slaget, genom att göra substitutionen $k^{2}=m$ . I det här fallet skriver man $K(k)\,$ istället för $K(m)$ , att förstå skillnaden mellan de två beror notationellt på om $k$ eller $m$ används. Denna notationsskillnad har gett upphov till en terminologi för den:

• $m$ kallas parametern
• $m_{1}=1-m$ kallas den komplementära parametern
• $k$ kallas elliptisk modul
• $k'$ kallas den komplementära elliptiska modulen , där ${k'}^{2}=m_{1}$
• $\alpha$ den modulära vinkeln , där $k=\sin \alpha ,$
• ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$ den komplementära modulära vinkeln . Anteckna det

$m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .$

Elliptikmodulen kan uttryckas i termer av kvartalsperioderna som

$k=\operatörsnamn {ns} (K+{\rm {i}}K')$

och

$k'=\operatörsnamn {dn} K$

där $\operatorname {ns}$ och $\operatorname {dn}$ är Jacobian elliptiska funktioner .

Namnet q $q\,$ av

$q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.$

Det kompletterande namnet ges av

$q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.$

Den verkliga kvartalsperioden kan uttryckas som en Lambert-serie som involverar nomen:

$K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n }}}.$

Ytterligare expansioner och relationer finns på sidan för elliptiska integraler .

•   Milton Abramowitz och Irene A. Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions , Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Se kapitel 16 och 17.