Koszul-Tate resolution
I matematik är en Koszul-Tate-upplösning eller Koszul-Tate-komplex av kvotringen R / M en projektiv upplösning av den som en R -modul som också har en struktur av en dg-algebra över R , där R är en kommutativ ring och M ⊂ R är ett ideal . De introducerades av Tate ( 1957 ) som en generalisering av Koszul-upplösningen för kvoten R /( x 1 , ...., x n ) av R genom en regelbunden sekvens av element. Friedemann Brandt, Glenn Barnich och Marc Henneaux ( 2000 ) använde Koszul-Tate-upplösningen för att beräkna BRST-kohomologi . Differentialen för detta komplex kallas Koszul-Tate-derledningen eller Koszul -Tate-differentialen .
Konstruktion
Antag först för enkelhetens skull att alla ringar innehåller de rationella talen Q . Antag att vi har en graderad superkommutativ ring X , så att
- ab = (−1) deg( a )deg ( b ) ba ,
med en differential d , med
- d ( ab ) = d ( a ) b + (−1) deg( a ) ad ( b )),
och x ∈ X är en homogen cykel ( dx = 0). Då kan vi bilda en ny ring
- Y = X [T]
av polynom i en variabel T , där differentialen utökas till T med
- dT = x .
( Polynomringen förstås i superbemärkelsen, så om T har en udda grad så är T 2 = 0.) Resultatet av att addera elementet T är att döda elementet i homologin av X representerad av x , och Y är fortfarande en superkommutativ ring med härledning.
En Koszul-Tate-upplösning av R / M kan konstrueras enligt följande. Vi börjar med den kommutativa ringen R (graderas så att alla element har grad 0). Lägg sedan till nya variabler enligt ovan av grad 1 för att döda alla element i den ideala M i homologin. Fortsätt sedan att lägga till fler och fler nya variabler (möjligen ett oändligt antal) för att döda all homologi av positiv grad. Vi slutar med en superkommutativ graderad ring med härledning d vars homologi bara är R / M .
Om vi inte arbetar över ett fält med karakteristik 0, fungerar konstruktionen ovan fortfarande, men det är vanligtvis snyggare att använda följande variant av den. Istället för att använda polynomringar X [ T ] kan man använda en "polynomring med delade potenser" X 〈 T 〉, som har en grund av element
- T ( i ) för i ≥ 0,
var
- T ( i ) T ( j ) = (( i + j )!/ i ! j !) T ( i + j ) .
över ett fält med karakteristik 0,
- T ( i ) är bara T i / i !.
Se även
- Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Local BRST cohomology in gauge theories", Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B 1 .101 : 0.101 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN 0370-1573 , MR 1792979 , S2CID 119420167
- Koszul, Jean-Louis (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410 , ISSN 90137, ISSN 40137 , 5MR 40137
- Tate, John (1957), "Homology of Noetherian rings and local rings", Illinois Journal of Mathematics , 1 : 14–27, doi : 10.1215/ijm/1255378502 , ISSN 0019-2082 , MR 0086072
- M. Henneaux och C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems , Princeton University Press, 1992
- Verbovetsky, Alexander (2002), "Remarks on two approaches to the horizontal cohomology: compatibility complex and the Koszul–Tate resolution", Acta Applicandae Mathematicae , 72 (1): 123–131, arXiv : math/0105207 , doi : 210. A:1015276007463 , ISSN 0167-8019 , MR 1907621 , S2CID 14555963