Korrelationsintegral

I kaosteorin är korrelationsintegralen den genomsnittliga sannolikheten för att tillstånden vid två olika tidpunkter är nära :

$C(\varepsilon )=\lim _{N\högerpil \infty }{\frac {1}{N^{2}}}\summa _{\stackrel {i,j=1}{i\neq j}}^{N}\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|),\quad {\vec {x}}( i)\in \mathbb {R} ^{m},$

där $N$ är antalet betraktade tillstånd ${\displaystyle {\vec {x}}(i)} ,$ ε $\displaystyle \varepsilon }$ är ett tröskelavstånd, ${\ displaystyle \|\cdot \|}$ en norm (t.ex. euklidisk norm ) och $\Theta (\cdot )$ stegfunktionen Heaviside . Om bara en tidsserie är tillgänglig kan fasutrymmet rekonstrueras genom att använda en tidsfördröjningsinbäddning (se Takens sats) :

${\vec {x}}(i)=(u (i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1))),$

där $u(i)$ är tidsserien, $m$ inbäddningsdimensionen och $\tau$ tidsfördröjningen.

Korrelationsintegralen används för att uppskatta korrelationsdimensionen .

En estimator av korrelationsintegralen är korrelationssumman :

$C(\varepsilon )={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{\stackrel {i,j=1}{i\neq j}}^{N}\Theta ( \varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^ {m}.$

Se även

• Återkommande kvantifieringsanalys

• P. Grassberger och I. Procaccia (1983). "Mätning av konstiga attraktionskrafter". Physica . 9D : 189–208. Bibcode : 1983PhyD....9..189G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 . (LÄNK)