Kopplingskoefficient för resonatorer

Kopplingskoefficienten för resonatorer är ett dimensionslöst värde som kännetecknar interaktionen mellan två resonatorer. Kopplingskoefficienter används i resonatorfilterteori. Resonatorer kan vara både elektromagnetiska och akustiska. Kopplingskoefficienter tillsammans med resonansfrekvenser och externa kvalitetsfaktorer för resonatorer är de generaliserade parametrarna för filter. För att justera filtrets frekvenssvar är det tillräckligt att optimera endast dessa generaliserade parametrar.

Termens utveckling

Denna term introducerades först i filterteorin av M Dishal. I viss mån är det en analog av kopplingskoefficienten för kopplade induktorer. Betydelsen av denna term har förbättrats många gånger med framsteg i teorin om kopplade resonatorer och filter . Senare definitioner av kopplingskoefficienten är generaliseringar eller förfinningar av föregående definitioner.

Kopplingskoefficient betraktad som en positiv konstant

Tidigare välkända definitioner av kopplingskoefficienten för resonatorer ges i monografi av G. Matthaei et al . Observera att dessa definitioner är ungefärliga eftersom de formulerades i antagandet att kopplingen mellan resonatorer är tillräckligt liten. Kopplingskoefficienten $k$ för fallet med två lika stora resonatorer definieras av formeln

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},$ (1)

där $f_{e},$$f_{o}$ är frekvenserna för jämna och udda kopplade oscillationer för obelastat par av resonatorer och ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.} Det$ är uppenbart att kopplingskoefficienten definierad av formel (2) är en positiv konstant som kännetecknar interaktion mellan resonatorer vid resonansfrekvensen $f_{0}.$

Om ett lämpligt ekvivalent nätverk med en impedans- eller admittansväxelriktare laddad vid båda portarna med resonanta enportsnätverk kan matchas med paret kopplade resonatorer med lika resonansfrekvenser, definieras kopplingskoefficienten ${\displaystyle k} av$ formel

$k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$ (2)

för serieresonatorer och enligt formeln

$k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}$ (3)

för resonatorer av parallelltyp. Här är $K_{12},$$J_{12}$ impedans-inverter- och admittans-inverterparametrar, $, {\displaystyle x_{1},}$$x_{2}}$${\$ är reaktanslutningsparametrar för de första och andra nätverken av resonansserietyp vid resonansfrekvens $f_{0},$ och $b_{1},$${ \displaystyle b_{2}}$ är susceptanslutningsparametrarna för det första och det andra resonansnätverket av parallelltyp.

När resonatorerna är resonanta LC-kretsar tar kopplingskoefficienten i enlighet med (2) och (3) värdet

$k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}$ (4)

för kretsarna med induktiv koppling och värdet

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.} ($ 5 )

för kretsarna med kapacitiv koppling . Här är $L_{1},$$C_{1}$ induktansen och kapacitansen för den första kretsen, $L_{2},$$\ displaystyle C_{2}}$ { är induktansen och kapacitansen för den andra kretsen, och $L_{m},$$C_{m}$ är ömsesidig induktans och ömsesidig kapacitans. Formlerna (4) och (5) är kända sedan länge i teorin om elektriska nätverk . De representerar värden på induktiva och kapacitiva kopplingskoefficienter för de kopplade resonans-LC-kretsarna.

Kopplingskoefficient betraktad som en konstant med ett tecken

Förfining av den ungefärliga formeln (1) uppfylldes i. Exakt formel har en form

$k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.$ ( 6)

Formlerna (4) och (5) användes när detta uttryck härleddes. Nu är formel (6) allmänt erkänd. Den ges i mycket citerad monografi av JS. Hong. Det framgår att kopplingskoefficienten $k$ har ett negativt värde om $f_{o}<f_{e}.$

uttrycks värdet på den induktiva kopplingskoefficienten för resonans LC-kretsar ${\displaystyle k_{L}} med formel (4) som tidigare.$ Den har ett positivt värde när $L_{m}>0$ och ett negativt värde när $L_{m}<0.$

Medan värdet på den kapacitiva kopplingskoefficienten för resonanta LC-kretsar $k_{C}$ alltid är negativt. I enlighet med (6) har formeln (5) för den kapacitiva kopplingskoefficienten för resonanskretsar en annan form

$k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.$ ( 7)

Koppling mellan elektromagnetiska resonatorer kan realiseras både genom magnetiska eller elektriska fält. Koppling med magnetfält kännetecknas av den induktiva kopplingskoefficienten $k_{L}$ och koppling med elektriskt fält kännetecknas av den kapacitiva kopplingskoefficienten $k_{C}.$ Vanligtvis avtar absoluta värden av $k_{L}$ och $k_{C}$ monotont när avståndet mellan resonatorerna ökar. Deras sönderfallshastigheter kan vara olika. Men det absoluta värdet av deras summa kan både sjunka över hela avståndsområdet och växa över ett visst avstånd.

Summering av de induktiva och kapacitiva kopplingskoefficienterna utförs med formeln

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.} (8$ )

Denna formel härrör från definitionen (6) och formlerna (4) och (7).

Notera att tecknet för själva kopplingskoefficienten $k$ inte har någon betydelse. Frekvenssvaret för filtret kommer inte att förändras om tecken på alla kopplingskoefficienter skulle alterneras samtidigt. Emellertid är tecknet viktigt vid sammanställning av två kopplingskoefficienter och speciellt vid summering av induktiva och kapacitiva kopplingskoefficienter.

Kopplingskoefficient betraktad som en funktion av den forcerade oscillationsfrekvensen

Två kopplade resonatorer kan interagera inte bara vid resonansfrekvenserna. Detta stöds av förmågan att överföra energi av forcerade svängningar från en resonator till den andra resonatorn. Därför skulle det vara mer korrekt att karakterisera resonatorers interaktion med en kontinuerlig funktion av forcerad oscillationsfrekvens $k(f)$ snarare än uppsättningen konstanter $k_{p}$ där ${ \displaystyle p}$ är ordernummer för resonansen.

Det är uppenbart att funktionen $k(f)$ måste uppfylla villkoret

$k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.$ (9)

Dessutom måste funktionen $k(f)$ bli noll vid de frekvenser $f_{z}$ där överföring av högfrekvent effekt från en resonator till en annan saknas, dvs. det andra villkoret

$k(f)|_{f=f_{z}}=0.$ (10)

Transmissionsnollpunkten uppstår särskilt i resonanskretsar med blandad induktiv-kapacitiv koppling när $L_{m}>0.$ Dess frekvens $k(f)$ uttrycks med formeln

$f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m }}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}$ . (11)

Definitionen av funktionen $k(f)$ som generaliserar formel (6) och uppfyller villkoren (9) och (10) angavs på energibaserat tillvägagångssätt i. Denna funktion uttrycks med formel ( 8) genom frekvensberoende induktiva och kapacitiva kopplingskoefficienter $k_{L}(f)$ och $k_{C}(f)$ definierade av formler

$_ displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\ stapel {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ ( 12)

$k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.$ (13)

Här betecknar $W$ energi av högfrekvent elektromagnetiskt fält som lagras av båda resonatorerna. Stapel över $W$ anger statisk komponent av högfrekvent energi, och punkt anger amplitud av oscillerande komponent av högfrekvent energi. Nedsänkt $L$ betecknar magnetisk del av högfrekvent energi, och nedsänkt $C$ betecknar elektrisk del av högfrekvent energi. Underskrifterna 11, 12 och 22 betecknar delar av lagrad energi som är proportionell mot $|U_{1}|^{2},$$|U_{1}||U_{2}|$ och $|U_{2}|^{2}$ där $U_{1}$ är komplex amplitud av högfrekvent spänning vid den första resonatorporten och $U_{2}$ är komplex amplitud av spänningen vid den andra resonatorporten.

Explicita funktioner för de frekvensberoende induktiva och kapacitiva kopplingarna för par kopplade resonanskretsar erhållna från (12) och (13) har formerna ${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},} ($ 14 )

${\displaystyle k_{C }(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2} {\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}} (15$ )

där $f_{1},$$f_{2}$ är resonansfrekvenser för den första och den andra kretsen som störs av kopplingar. Det kan ses att värdena för dessa funktioner vid $f=f_{1}=f_{2}$ sammanfaller med konstanterna $k_{L}$ och $k_{C}$ definieras av formlerna (14) och (15). Dessutom blir funktionen $k(f)$ beräknad med formler (8), (14) och (15) noll vid $f_{z}$ definierad av formel (11).

Kopplingskoefficienter i filterteori

Bandpassfilter med inline kopplingstopologi

Teorin om smalbandiga mikrovågsbandpassfilter som har Chebyshev frekvenssvar anges i monografi. I dessa filter är resonansfrekvenserna för alla resonatorer avstämda till passbandets mittfrekvens $f_{0}.$ Varje resonator är kopplad till högst två grannaresonatorer. Var och en av två kantresonatorer är kopplad till en grannresonator och en av två filterportar. Sådan topologi för resonatorkopplingar kallas inline one. Det finns bara en väg för mikrovågseffektöverföring från ingångsporten till utgångsporten i filter med inline-kopplingstopologi.

Härledning av ungefärliga formler för värdena för kopplingskoefficienterna för grannresonatorer i filter med inline kopplingstopologi $k_{i,i+1}$ som uppfyller specificerat filterfrekvenssvar ges i. Här $i$ och $i+1$ är beställningsnummer för de kopplade resonatorerna i filtret. Formlerna härleddes med hjälp av lågpassprototypfilter samt formlerna (2) och (3). Frekvenssvaret för lågpassprototypfiltren kännetecknas av Chebyshev-funktion av det första slaget. Formlerna publicerades först i. De har en form

$k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{ \sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},$ (16)

där $g_{i}$$(i=0,1,2...n)$ är normaliserade prototypelementvärden, $n$ är ordningen för Chebyshev-funktionen som är lika med antalet resonatorer, $f_{1},$$f_{2}$ är bandkantfrekvenserna.

Prototypelementvärden $g_{i}$ för ett specificerat bandpass för filtret beräknas med formler

$g_{0}=1,$$g_{1}=2a_{1}/\gamma ,$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1} a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),} ($ 17)

$g_{n+1}=1,$ om $n$ är jämnt,

$g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),$ om $n$ är udda.

Här användes nästa beteckningar

$\beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},$$\gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),$ (18)

$a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},$$b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2} ({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),$

där $\Delta L$ är den erforderliga passbandsrippeln i dB.

Formlerna (16) är ungefärliga inte bara på grund av att de ungefärliga definitionerna (2) och (3) för kopplingskoefficienter användes. Exakta uttryck för kopplingskoefficienterna i prototypfilter erhölls i. Men både tidigare och raffinerade formler förblir ungefärliga vid utformning av praktiska filter. Noggrannheten beror på både filterstruktur och resonatorstruktur. Noggrannheten förbättras när bandbredden minskar.

Oexakthet av formler (16) och deras förfinade version orsakas av frekvensspridningen av kopplingskoefficienterna som kan variera i stor grad för olika strukturer av resonatorer och filter. Med andra ord, de optimala värdena för kopplingskoefficienterna $k_{i,i+1}$ vid frekvensen $f_{0}$ beror på både specifikationer för det erforderliga passbandet och värden av derivaten ${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.} Det betyder de exakta värdena$$k_{i,i+1}$ koefficienterna säkerställer att det nödvändiga passbandet inte kan vara känt i förväg. De kan fastställas först efter filteroptimering. Därför kan formlerna (16) användas för att bestämma initiala värden för kopplingskoefficienterna före optimering av filtret.

De ungefärliga formlerna (16) gör det också möjligt att fastställa ett antal universella regelbundenheter beträffande filter med inline-kopplingstopologi. Till exempel kräver breddning av strömfiltrets passband approximativt $k_{i,i+1}.$ ökning av alla kopplingskoefficienterna Koefficienterna $k_{i,i+1}$ är symmetriska med avseende på den centrala resonatorn eller det centrala paret av resonatorer även i filter med ojämna karakteristiska impedanser för transmissionsledningar i ingångs- och utgångsportarna. Värdet på koefficienten $k_{i,i+1}$ minskar monotont när man flyttar från de externa resonatorparen till det centrala paret.

Verkliga mikrovågsfilter med inline kopplingstopologi i motsats till deras prototyper kan ha transmissionsnollor i stoppband. Transmissionsnollor förbättrar filterselektiviteten avsevärt. En av anledningarna till att nollor uppstår är frekvensspridningen av kopplingskoefficienterna $k_{i,i+1}$ för ett eller flera par av resonatorer som uttrycker i deras försvinnande vid frekvenser av sändningsnollor

Bandpassfilter med korskopplingar

För att generera transmissionsnollor i stoppband i syfte att förbättra filterselektiviteten görs ofta ett antal kompletterande kopplingar förutom de närmaste kopplingarna i filtren. De kallas korskopplingar. Dessa kopplingar skapar flera vågbanor från ingångsporten till utgångsporten. Amplituder av vågor som sänds genom olika vägar kan kompensera sig själva vid vissa separata frekvenser medan de summeras vid utgångsporten. Sådan kompensation resulterar i överföringsnollor.

I filter med korskopplingar är det praktiskt att karakterisera alla filterkopplingar som en helhet med hjälp av en kopplingsmatris $\mathbf {M}$ med dimensionen ${\displaystyle n\times n} ,$ . Den är symmetrisk. Varje dess off-diagonala element $M_{ij}$ är kopplingskoefficienten för i :e och j :e resonatorerna $k_{ij}.$ Varje diagonalt element $M_{ii}$ är den i: te resonatorns normaliserade susceptans Alla diagonala element $M_{ii}$ i ett avstämt filter är lika med noll eftersom en susceptans försvinner vid resonansfrekvensen.

Viktiga fördelar med matrisen $\mathbf {M}$ är det faktum att den gör det möjligt att direkt beräkna frekvenssvaret för det ekvivalenta nätverket som har de induktivt kopplade resonanskretsarna. Därför är det bekvämt att använda denna matris vid utformningen av de korskopplade filtren. kopplingsmatriserna $\mathbf {M}$ används som grova modeller av filter. Användning av en grov modell gör det möjligt att påskynda filteroptimeringen många gånger på grund av att beräkningen av frekvenssvaret för den grova modellen inte förbrukar CPU-tid med avseende på beräkningen för det verkliga filtret.

Kopplingskoefficient i termer av vektorfälten

Eftersom kopplingskoefficienten är en funktion av både den ömsesidiga induktansen och kapacitansen kan den också uttryckas i termer av vektorfälten $\mathbf {E}$ och $\mathbf {H}$ . Hong föreslog att kopplingskoefficienten är summan av de normaliserade överlappningsintegralerna

$\kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},$ (19)

var

$\kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv }{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}| ^{2}dv}}}$ (20)

och

$\kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\ sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2 }dv}}}.$ (21)

Tvärtom, baserat på en kopplad modformalism, härledde Awai och Zhang uttryck för $\kappa$ som är för att använda det negativa tecknet, dvs.

$\kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.$ (22)

Formlerna (19) och (22) är ungefärliga. De matchar den exakta formeln (8) endast vid en veckas koppling. Formlerna (20) och (21) i motsats till formlerna (12) och (13) är också ungefärliga eftersom de inte beskriver en frekvensspridning som ofta kan visa sig i form av överföringsnollor i frekvenssvaret för ett multiresonatorbandpass filtrera.

Med hjälp av Lagranges rörelseekvation visades det att interaktionen mellan två delade ringresonatorer, som bildar en meta-dimer, beror på skillnaden mellan de två termerna. I detta fall uttrycktes den kopplade energin i termer av ytladdning och strömtätheter.

Nyligen, baserat på Energy Coupled Mode Theory (ECMT), en kopplad modformalism i form av ett egenvärdesproblem, visades det att kopplingskoefficienten verkligen är skillnaden mellan de magnetiska och elektriska komponenterna κ M {\displaystyle \ ${ M}}$ och $\kappa _{E}$ Med hjälp av Poynting-satsen i dess mikroskopiska form visades det att $\kappa$ kan uttryckas i termer av interaktionsenergin mellan resonatorernas moder .

externa länkar

• Tyurnev, VV (2010) "Coupling coefficients of resonators in microwave filter theory", Progress In Electromagnetics Research B , Vol. 21, s. 47–67.