Kontrakterade Bianchi-identiteter

I allmän relativitetsteori och tensorkalkyl är de kontrakterade Bianchi-identiteterna :

$\nabla _{\rho }{R^{\rho }}_{\mu }={1 \över 2}\nabla _{\mu }R$

där ${R^{\rho }}_{\mu }$ är Ricci-tensorn , $R$ den skalära krökningen och $\nabla _{\rho }$ indikerar kovariansdifferentiering .

Dessa identiteter är uppkallade efter Luigi Bianchi , även om de redan hade härletts av Aurel Voss 1880. I Einsteins fältekvationer säkerställer den kontrakterade Bianchi-identiteten överensstämmelse med den försvinnande divergensen av materiens stress-energitensor .

Bevis

Börja med Bianchi-identiteten

$R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.$

Dra ihop båda sidorna av ovanstående ekvation med ett par metriska tensorer :

$g^{bn}g^{am}(R_{abmn ;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m})=0,$

$g^{bn}(R^{m}{}_{bmn;\ell}-R^{m}{}_{bm\ell ;n}+R^ {m}{}_{bn\ell ;m})=0,$

$\displaystyle g^{ bn}(R_{bn;\ell }-R_{b\ell ;n}-R_{b}{}^{m}{}_{n\ell ;m})=0,}$

$R^{n}{}_{n;\ell }-R^{n}{}_{\ell ;n}-R^{nm}{}_{n\ell ; m}=0.$

Den första terminen till vänster kontrakterar att ge en Ricci-skalär, medan den tredje terminskontrakten ger en blandad Ricci-tensor,

$R_{;\ell }-R^{n}{}_{\ell ;n}-R^{m}{}_{\ell ;m}=0.$

De två sista termerna är desamma (ändrar dummyindex n till m ) och kan kombineras till en enda term som ska flyttas till höger,

$R_{;\ell }=2R^{m}{}_{\ell ;m},$

vilket är samma som

$\nabla _{m}R^{m}{}_{\ell }={1 \over 2}\nabla _{\ell }R.$

Byte av indexetiketter l och m ger

$\nabla _{\ell }R^{\ell }{}_{m}={1 \över 2}\nabla _{m}R.$

Se även

• Bianchi identiteter
• Einstein tensor
• Einsteins fältekvationer
• Allmän relativitetsteori
• Ricci kalkyl
• Tensorkalkyl
• Riemann krökningstensor

Anteckningar

•   Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensorer, differentialformer och variationsprinciper . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7 .
•   Synge JL, Schild A. (1949). Tensorkalkyl . första Dover Publications 1978 års upplaga. ISBN 978-0-486-63612-2 .
•   JR Tyldesley (1975), An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, ISBN 0-582-44355-5
•   DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
•   T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3:e upplagan), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601