Kontinuerlig kartläggningssats

I sannolikhetsteorin säger den kontinuerliga kartläggningssatsen att kontinuerliga funktioner bevarar gränser även om deras argument är sekvenser av slumpvariabler. En kontinuerlig funktion, enligt Heines definition , är en sådan funktion som mappar konvergenta sekvenser till konvergenta sekvenser: om x _n → x så är g ( x _n ) → g ( x ). Den kontinuerliga kartläggningssatsen säger att detta också kommer att vara sant om vi ersätter den deterministiska sekvensen { x _n } med en sekvens av slumpvariabler { X _n }, och ersätter standarduppfattningen om konvergens av reella tal "→" med en av typerna av konvergens av slumpvariabler .

Denna sats bevisades första gången av Henry Mann och Abraham Wald 1943, och den kallas därför ibland Mann-Wald-satsen . Samtidigt hänvisar Denis Sargan till det som den allmänna transformationssatsen .

Påstående

Låt { X _n }, X vara slumpmässiga element definierade på ett metriskt utrymme S . Antag att en funktion g : S → S′ (där S′ är ett annat metriskt rum) har uppsättningen diskontinuitetspunkter D _g så att Pr[ X ∈ D _g ] = 0 . Sedan

{\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d }}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xhögerpil {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ X\quad & \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ g(X).\end{aligned}}

där de upphöjda "d", "p" och "som" betecknar konvergens i distribution , konvergens i sannolikhet respektive nästan säker konvergens .

Bevis

Detta bevis har antagits från ( van der Vaart 1998, Theorem 2.3)

Utrymmen S och S′ är utrustade med vissa mått. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna båda dessa mätvärden med hjälp av | x − y | notation, även om måtten kan vara godtycklig och inte nödvändigtvis euklidisk.

Konvergens i distribution

Vi kommer att behöva ett särskilt påstående från portmanteau-satsen : att konvergens i fördelningen $X_{n}{\xrightarrow {d}}X$ är ekvivalent med

\mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)

för varje avgränsad kontinuerlig funktionell f .

Så det räcker för att bevisa att $\mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f (g(X))$ för varje avgränsad kontinuerlig funktionell f . Observera att $F=f\circ g$ i sig är en avgränsad kontinuerlig funktion. Och så följer påståendet av uttalandet ovan.

Konvergens i sannolikhet

Fixa en godtycklig ε > 0. Betrakta sedan mängden B _δ för alla δ > 0 som definieras som

B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |xy|<\delta ,\,|g( x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.

Detta är uppsättningen av kontinuitetspunkter x för funktionen g (·) för vilka det är möjligt att hitta, inom δ -grannskapet till x , en punkt som mappar utanför ε -grannskapet till g ( x ). Per definition av kontinuitet, krymper denna mängd när δ går till noll, så att lim _{δ → 0} B _δ = ∅.

Anta nu att | g ( X ) − g ( X _n )| > ε . Detta innebär att minst ett av följande är sant: antingen | X − X _n | ≥ δ , eller X ∈ Dg _, eller X ∈ B _δ . När det gäller sannolikheter kan detta skrivas som

\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}| X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).

På höger sida konvergerar den första termen till noll som n → ∞ för vilken fast δ som helst , enligt definitionen av konvergens i sannolikhet för sekvensen { X _n }. Den andra termen konvergerar till noll som δ → 0, eftersom mängden B _δ krymper till en tom mängd. Och den sista termen är identiskt lika med noll genom antagandet av satsen. Därför är slutsatsen att

\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g( X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,

vilket betyder att g ( X _n ) konvergerar till g ( X ) i sannolikhet.

Nästan säker konvergens

Enligt definitionen av kontinuiteten för funktionen g (·),

\lim _{n\to \infty }X_{ n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))

vid varje punkt X ( ω ) där g (·) är kontinuerlig. Därför,

{\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)& \geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left (\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}

eftersom skärningspunkten mellan två nästan säkra händelser är nästan säker.

Per definition drar vi slutsatsen att g ( X _n ) konvergerar till g ( X ) nästan säkert.

Se även