Konform loopensemble

I kritisk perkolation på bikakegittret färgas varje hexagonyta röd eller svart oberoende med samma sannolikhet. Varje gränssnitt som skiljer ett svart kluster från ett rött kluster visas i grönt. Denna slumpmässiga samling av gränssnitt konvergerar i lag till CLE ₆ när gitteravståndet går till noll.

För att definiera ett slumpmässigt gränssnitt som konvergerar till SLE fixar vi färgerna på hexagonerna längs domänens gräns. Denna procedur definierar ett enda gränssnitt som separerar röda hexagoner från svarta hexagoner. Denna väg konvergerar i lag till SLE ₆ när gitteravståndet går till noll.

En konform loopensemble (CLE _K ) är en slumpmässig samling av icke-korsande loopar i en enkelt ansluten, öppen delmängd av planet. Dessa slumpmässiga samlingar av slingor indexeras med en parameter κ, som kan vara vilket reellt tal som helst mellan 8/3 och 8. CLE κ _är en loopversion av Schramm-Loewner-evolutionen : SLE _κ är designad för att modellera ett enda diskret slumpmässigt gränssnitt, medan CLE _κ modellerar en fullständig samling gränssnitt.

I många fall där det finns ett förmodat eller bevisat samband mellan en diskret modell och SLE _κ , finns det också ett förmodat eller bevisat samband med CLE _κ . Till exempel:

• CLE ₃ är gränsen för gränssnitt för den kritiska Ising-modellen .
• CLE ₄ kan ses som 0-uppsättningen av det Gaussiska fria fältet .
• CLE _16/3 är en skalningsgräns för klustergränssnitt i kritisk FK Ising-perkolering.
• CLE ₆ är en skalningsgräns för kritisk perkolation på det triangulära gittret.

Konstruktioner

För 8/3 < K < 8 kan CLE _K konstrueras med användning av en förgreningsvariation av en SLE _K -process. När 8/3 < κ ≤ 4, kan CLE _κ alternativt konstrueras som samlingen av yttre gränser av Brownian loop-soppkluster.

Egenskaper

CLE _κ är konformt invariant, vilket betyder att om $\varphi :D\to D'$ är en konform karta, så är lagen för en CLE i D' samma som lagen för bild av alla CLE-slingor i D under kartan $\varphi$ .

Eftersom CLE _K kan definieras med användning av en SLE _K -process, ärver CLE-loopar många vägegenskaper från SLE. Till exempel är varje CLE _κ- slinga en fraktal med nästan säker Hausdorff-dimension 1+κ/8. Varje slinga är nästan säkert enkel (inga självkorsningar) när 8/3 < κ ≤ 4 och nästan säkert självrörande när 4 < κ < 8.

Uppsättningen av alla punkter som inte omges av någon slinga, som kallas packningen , har Hausdorff dimension 1 + 2/κ + 3κ/32 nästan säkert (slumpmässiga soppor, mattor och fraktala dimensioner av Nacu och Werner. Eftersom denna dimension är strikt större än 1+κ/8 finns det nästan säkert punkter som inte finns i eller omgivna av någon slinga. Men eftersom packningsdimensionen är strikt mindre än 2, finns nästan alla punkter (med avseende på ytmått) i det inre av en slinga.

CLE definieras ibland för att endast inkludera de yttersta slingorna, så att samlingen av slingor är icke-kapslade (ingen slinga finns i en annan). En sådan CLE kallas en enkel CLE för att skilja den från en fullständig eller kapslad CLE. Lagen för en fullständig CLE kan återställas från lagen för en enkel CLE enligt följande. Prova en samling enkla CLE-slingor, och inuti varje slinga prova en annan samling enkla CLE-slingor. Oändligt många iterationer av denna procedur ger en fullständig CLE.

•   Sheffield, Scott (2009), "Exploration trees and conformal loop-ensembles" , Duke Math J , 147 (1): 79–129, arXiv : math/0609167 , doi : 10.1215/00127094-2009-207691 , S916ID 8
•   Miller, Jason; Sun, Nike ; Wilson, David (2012). "Hausdorff dimension av CLE-packningen". Sannolikhetens annaler . 42 (4): 1644–1665. arXiv : 1206.0725 . doi : 10.1214/12-AOP820 . S2CID 119147080 .
• Sheffield, Scott; Werner, Wendelin (2010). "Conformal Loop Ensembles: The Markovian characterization and the loop-soup construction". arXiv : 1006.2374 [ math.PR ].