Koncentrationsdimension

Inom matematiken – närmare bestämt i sannolikhetsteorin – är koncentrationsdimensionen för en Banach -rymdvärderad slumpvariabel ett numeriskt mått på hur "utspritt" slumpvariabeln är jämfört med normen på utrymmet.

Definition

Låt ( B , || ||) vara ett Banach-mellanslag och låt X vara en Gaussisk slumpvariabel som tar värden i B . Det vill säga, för varje linjär funktionell ℓ i det dubbla utrymmet B ^∗ har den reella slumpvariabeln ⟨ ℓ , X ⟩ en normalfördelning . Definiera

$\sigma (X)=\sup \left\{\left.{\sqrt {\operatörsnamn {E} [\langle \ell ,X\rangle ^{2}]}}\,\right|\, \ell \in B^{\ast },\|\ell \|\leq 1\right\}.$

Då definieras koncentrationsdimensionen d ( X ) av X av

$d(X)={\frac {\operatörsnamn {E} [\|X\|^{2}]}{\sigma (X)^{2}}}.$

Exempel

• Om B är ett n -dimensionellt euklidiskt utrymme R ⁿ med sin vanliga euklidiska norm och X är en standard Gaussisk slumpvariabel, då är σ ( X ) = 1 och E[|| X || ² ] = n , så d ( X ) = n .
• Om B är R ⁿ med den högsta normen så är σ ( X ) = 1 men E[|| X || ² ] (och därmed d ( X )) är av storleksordningen log( n ).

•    Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991), Probability in Banach spaces: Isoperimetry and processes , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 23, Berlin: Springer-Verlag, sid. 237, doi : 10.1007/978-3-642-20212-4 , ISBN 3-540-52013-9 , MR 1102015 .
•    Pisier, Gilles (1989), Volymen av konvexa kroppar och Banachs rymdgeometri , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Cambridge University Press, Cambridge, s. 42–43, doi : 10.1017/CBO9780511662454 , ISBN 0-521-36465-5 , MR 1036275 .