Komplexorienterad kohomologiteori

I algebraisk topologi är en komplext orienterbar kohomologiteori en multiplikativ kohomologiteori E så att restriktionskartan ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})} är$ surjektiv. Ett element av $E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })$ som begränsar till den kanoniska generatorn av den reducerade teorin ${\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})$ kallas en komplex orientering . Begreppet är centralt i Quillens arbete som relaterar kohomologi till formella grupplagar .

Om E är en teori med jämna betyg som betyder ${\displaystyle \pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots } ,$ då är E komplexorienterbart. Detta följer av Atiyah-Hirzebruch-spektralsekvensen .

Exempel:

• En vanlig kohomologi med valfri koefficientring R är komplex orienterbar, eftersom $\operatorname {H} ^{2}(\mathbb { C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatornamn {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)$ .
• Komplex K -teori, betecknad KU , är komplexorienterad, eftersom den är jämnt graderad. ( Bott periodicitetssats )
• Komplex kobordism , vars spektrum betecknas av MU, är komplexorienterad.

En komplex orientering, kalla den t , ger upphov till en formell grupplag enligt följande: låt m vara multiplikationen

$\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C } \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]$

där $[x]$ anger en linje som går genom x i det underliggande vektorutrymmet $\mathbb {C} [t]$ av $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ . Detta är kartan som klassificerar tensorprodukten av den universella linjebunten över $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ . Visning

$E ^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[ t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E$ ,

låt $f=m^{*}(t)$ vara tillbakadragningen av t längs m . Det bor i

$E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })= \varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/( x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]$

och man kan visa, med hjälp av egenskaper hos tensorprodukten av linjebuntar, att det är en formell grupplag (t.ex. tillfredsställer associativitet).

Se även

• Kromatisk homotopi teori

• M. Hopkins, Complex oriented cohomology theory and the language of stacks
• J. Lurie, Chromatic Homotopy Theory (252x)