Kohomologi med kompakt stöd

Inom matematik hänvisar kohomologi med kompakt stöd till vissa kohomologiteorier, vanligtvis med något villkor som kräver att samcyklar ska ha kompakt stöd.

Singular kohomologi med kompakt stöd

Låt $X$ vara ett topologiskt rum. Sedan

\displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\ varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{kompakt}}}H^{\ast }(X,X\setminus K;R)

Detta är också naturligt isomorft för kohomologin av sub- kedjekomplexet $C_{c}^{\ast }(X;R)$ bestående av alla singulära samkedjor $\phi :C_{i}(X;R)\to R$ som har kompakt stöd i den meningen att det finns någon kompakt $K\subseteq X$ så att $\phi$ försvinner på alla kedjor i $X\setminus K$ .

Funktionell definition

Låt $X$ vara ett topologiskt utrymme och $p:X\to \star$ kartan till punkten. Använda den direkta bilden och den direkta bilden med kompakta stödfunktioner $p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={ \text{Ab}}$ , kan man definiera kohomologi och kohomologi med kompakt stöd av en bunt av abelska grupper ${\mathcal {F}}$ på $X$ som

\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},

\displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.

Genom att ta för ${\mathcal {F}}$ den konstanta bunten med koefficienter i en ring $R$ återställer den tidigare definitionen.

de Rham kohomologi med kompakt stöd för släta grenrör

Givet ett grenrör X , låt $\Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)$ vara det verkliga vektorutrymmet för k -former på X med kompakt stöd, och d vara standardexteriörderivatet . Sedan är de Rham-kohomologigrupperna med kompakt stöd ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)$ } homologin för kedjekomplexet $(\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)$ :

0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _ {\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots

dvs $H_{\mathrm {c} }^{q}(X)$ är vektorrummet för slutna q -former modulo det för exakta q -former .

Trots deras definition som homologin av ett stigande komplex, uppvisar de Rham-grupperna med kompakt stöd ett samvariant beteende; till exempel, givet inklusionsmappningen j för en öppen mängd U av X , är förlängning av former på U till X (genom att definiera dem till 0 på X – U ) en avbildning $j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)$ inducerar en karta

j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^ {q}(X)

.

De visar också motsatt beteende med avseende på korrekta kartor - det vill säga kartor så att den omvända bilden av varje kompakt uppsättning är kompakt. Låt f : Y → X vara en sådan karta; sedan tillbakadragningen

f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q }(Y)\summa _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\ circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)

framkallar en karta

H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\till H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)

.

Om Z är en undergren av X och U = X – Z är den komplementära öppna mängden, finns det en lång exakt sekvens

\cdots \to H_{\mathrm { c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{ \longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots

kallas den långa exakta sekvensen av kohomologi med kompakt stöd. Den har många tillämpningar, såsom Jordan-kurvans teorem , som erhålls för X = R ² och Z en enkel sluten kurva i X .

De Rham-kohomologi med kompakt stöd uppfyller en kovariant Mayer–Vietoris-sekvens : om U och V är öppna uppsättningar som täcker X , då

\cdots \till H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\till H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c}}^{q }(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\ cap V)\to \cdots

där alla kartor induceras genom förlängning med noll är också exakt.

Se även

Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190
Raoul Bott och Loring W. Tu (1982), Differential Forms in Algebraic Topology , Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag
"Kohomologi med stöd och Poincare-dualitet" . Stack Exchange .