Kerr–Dold virvel

Inom vätskedynamik är Kerr-Dold virvel en exakt lösning av Navier-Stokes ekvationer , som representerar stadiga periodiska virvlar överlagrade på stagnationspunktflödet (eller extensionsflödet) . Lösningen upptäcktes av Oliver S. Kerr och John W. Dold 1994. Dessa stabila lösningar existerar som ett resultat av en balans mellan virvelsträckning av det extensionella flödet och viskös avledning, som liknar Burgers vortex . Dessa virvlar observerades experimentellt i en fyrvalsverksapparat av Lagnado och L. Gary Leal .

Matematisk beskrivning

Stagnationspunktsflödet, som redan är en exakt lösning av Navier–Stokes ekvation ges av $\mathbf {U} =(0,-Ay,Az)$ , där $A$ är töjningshastigheten. Till detta flöde kan ytterligare en periodisk störning läggas så att det nya hastighetsfältet kan skrivas som

$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0\\-Ay\\Az\end{ bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\\0\end{bmatrix}}$

där störningen $u(x,y)$ och $v(x,y)$ antas vara periodiska i $x$ -riktningen med ett grundläggande vågnummer $k$ . Kerr och Dold visade att sådana störningar existerar med ändlig amplitud, vilket gör lösningen exakt till Navier–Stokes ekvationer. Genom att införa en strömfunktion $\psi$ för störningshastighetskomponenterna, kan ekvationerna för störningar i vorticity-streamfunktionsformulering visas reducera till

${\begin{aligned}\omega &=-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi \\[6pt]{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\ partiell \omega }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}&-Ay{\frac {\partial \omega }{\partial y}}-A\omega =\nu \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2 }}{\partial y^{2}}}\right)\omega \end{aligned}}$

där $\omega$ är störningsvirveln . En enda parameter

$\lambda ={\frac {A}{\nu k^{2}}}$

kan erhållas vid icke-dimensionalisering, vilket mäter styrkan hos det konvergerande flödet till viskös avledning. Lösningen kommer att antas vara

$\psi =\sum _{k=-\infty }^{\infty }[a_{k}(y)+ib_{k}(y)]e^{-ikx}.$

Eftersom $\psi$ är verklig är det lätt att verifiera att $a_{k}=a_{-k}, \,b_{k}=-b_{-k},\,b_{0}=0.$ Eftersom den förväntade virvelstrukturen har symmetrin $\psi (x,y)=\psi (-x,-y),\,\psi (x,y)=-\psi (\ pi -x,y)$ , vi har $a_{0}=b_{1}=0$ . Vid substitution kommer en oändlig sekvens av differentialekvationer att erhållas som är kopplade icke-linjärt. För att härleda följande ekvationer Cauchy-produktregeln att användas. Ekvationerna är

${\begin{aligned}&a_{k}''''+Aya_{k}'''+(A-2k^{2})a_{k}''-k^{2}Aya_{k }'-k^{2}Aa_{k}+k^{4}a_{k}\\[6pt]&{}+i\left[b_{k}''''+Ayb_{k}'' '+(A-2k^{2})b_{k}''-k^{2}Ayb_{k}'-k^{2}Ab_{k}+k^{4}b_{k}\höger ]\\[6pt]={}&i\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }\left\{\left(a_{k-\ell }'+ib_{k-\ell }' \right)\left[\ell a_{\ell }''-\ell ^{3}a_{\ell }+i(\ell b_{\ell }''-\ell ^{3}b_{\ell })\right]-(k-\ell )\left(a_{k-\ell }+ib_{k-\ell}\right)\left[a_{\ell }'''-\ell ^{2 }a_{\ell }'+i(b_{\ell }'''-\ell ^{2}b_{\ell }')\right]\right\}.\end{aligned}}$

Gränsvillkoren

$a_{k}'(0)=b_{k}(0)=a_{k}(\infty )=b_{k}(\infty )=0$

och motsvarande symmetritillstånd är tillräckligt för att lösa problemet. Det kan visas att icke-trivial lösning existerar endast när $\lambda >1.$ När man löser denna ekvation numeriskt, verifieras det att det räcker att behålla de första 7 till 8 termerna för att ge korrekta resultat. Lösningen när $\lambda =1$ är $\psi =\cos x$ upptäcktes redan av Craik och Criminale 1986.