Kampyle av Eudoxus

För företaget, se Kampyle (mjukvara) .

Graf över Kampyle of Eudoxus med a = 1

Kampylen av Eudoxus ( grekiska : καμπύλη [γραμμή], som helt enkelt betyder "böjd [linje], kurva") är en kurva med en kartesisk ekvation för

$x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),$

från vilken lösningen x = y = 0 är utesluten.

Alternativa parametreringar

I polära koordinater har Kampyle ekvationen

$r=a\sec ^{2}\theta .$

På motsvarande sätt har den en parametrisk representation som

$x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).$

Historia

Denna kvartskurva studerades av den grekiske astronomen och matematikern Eudoxus av Cnidus (ca 408 f.Kr. – ca 347 f.Kr.) i relation till det klassiska problemet med att fördubbla kuben .

Egenskaper

Kampylen är symmetrisk om både x- och y -axlarna. Den korsar x -axeln vid (± a ,0). Den har böjningspunkter vid

$\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2 }}\höger)$

(fyra böjningar, en i varje kvadrant). Den övre halvan av kurvan är asymptotisk till $x^{2}/aa/2$ som $x\to \infty$ , och kan faktiskt skrivas som

$y={\frac {x^{2}}{a} }{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{ 2}}\summa _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},$

var

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

är det ${\displaystyle n}:$ e katalanska numret .

Se även

• Lista över kurvor

•   J. Dennis Lawrence (1972). En katalog med speciella plankurvor . Dover Publikationer. s. 141–142 . ISBN 0-486-60288-5 .

externa länkar

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Kampyle of Eudoxus" , MacTutor History of Mathematics arkiv , University of St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Kampyle of Eudoxus" . MathWorld .