Jacques Touchard

Jacques Touchard (1885–1968) var en fransk matematiker . 1953 bevisade han att ett udda perfekt antal måste vara av formen 12 k + 1 eller 36 k + 9. I kombinatorik och sannolikhetsteori introducerade han Touchard-polynomen . Han är också känd för sin lösning på ménageproblemet med att räkna sittplatser där män och kvinnor alternerar och inte sitter bredvid sina makar.

Touchards katalanska identitet

Följande algebraiska identitet som involverar de katalanska talen

$C_{k}={1 \över {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0$

beror tydligen på Touchard (enligt Richard P. Stanley , som nämner det i sin panoramaartikel " Exercises on Catalan and Related Numbers " som ger en överväldigande mängd olika definitioner för de katalanska talen). För n ≥ 0 har man

$C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,$

Använder genereringsfunktionen

$C(t)=\summa _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{ 1-{\sqrt {1-4t}}} \över {2t}}$

det kan bevisas genom algebraiska manipulationer av genererande serier att Touchards identitet är ekvivalent med den funktionella ekvationen

${t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over ( 1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1$

uppfyllt av den katalanska genereringsserien C ( t ).

Vidare läsning

Canadian Journal of Mathematics 1956 , volym 8, nr 3.; Journal på franska