Jacobi koordinerar

Jacobi koordinerar för tvåkroppsproblem ; Jacobi-koordinaterna är ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1 }+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ och ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol { x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ med $M=m_{1}+m_{2}$ .

En möjlig uppsättning Jacobi-koordinater för problem med fyra kroppar; Jacobi-koordinaterna är r ₁ , r ₂ , r ₃ och masscentrum R . Se Cornille.

I teorin om många partikelsystem används ofta Jacobi-koordinater för att förenkla den matematiska formuleringen. Dessa koordinater är särskilt vanliga vid behandling av polyatomära molekyler och kemiska reaktioner och i himlamekanik . En algoritm för att generera Jacobi-koordinaterna för N kroppar kan baseras på binära träd . Med ord beskrivs algoritmen enligt följande:

Låt m _j och m _k vara massorna av två kroppar som ersätts av en ny kropp med virtuell massa M = m _j + m _k . Positionskoordinaterna x _j och x _k ersätts av deras relativa position r _jk = x _j − x _k och av vektorn till deras massacentrum R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k )/( m _j + mk ₎ . Noden i det binära trädet som motsvarar den virtuella kroppen har m _j som sitt högra barn och m _k som sitt vänstra barn. Ordningen på barn indikerar de relativa koordinatpunkterna från x _k till x _j . Upprepa steget ovan för N − 1 kroppar, det vill säga de N − 2 ursprungliga kropparna plus den nya virtuella kroppen.

För N -kroppsproblemet är resultatet:

${\boldsymbol {r}}_{j}={ \frac {1}{m_{0j}}}\summa _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_ {j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}$

${\boldsymbol { r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\summa _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,$

med

$m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .$

Vektorn ${\boldsymbol {r}}_{N}$ är massacentrum för alla kroppar och ${\boldsymbol {r}}_{1}$ är den relativa koordinaten mellan partiklarna 1 och 2:

Resultatet man lämnar är alltså ett system av N -1 translationellt invarianta koordinater ${\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r} }_{N-1}$ och en masscentrumkoordinat ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}} ,$ från att iterativt reducera tvåkroppssystem inom mångakroppssystemet.

Denna förändring av koordinater har associerat Jacobian lika med $1$ .

Om man är intresserad av att utvärdera en gratis energioperatör i dessa koordinater får man

$H_{0}=-\summa _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\partial _{{ \boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{ N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1} {m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}$

I beräkningarna kan följande identitet vara användbar

$\sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{ m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}$ .