Jämförelsefunktion

I tillämpad matematik är jämförelsefunktioner flera klasser av kontinuerliga funktioner , som används i stabilitetsteorin för att karakterisera stabilitetsegenskaperna hos styrsystem som Lyapunov-stabilitet , enhetlig asymptotisk stabilitet etc.

Låt $C(X,Y)$ vara ett utrymme av kontinuerliga funktioner som verkar från $X$ till $Y$ . De viktigaste klasserna av jämförelsefunktioner är:

${\begin{aligned}{\mathcal {P}} &:=\left\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma (0)=0{\text{ och }}\gamma (r)>0{\text{ för }}r>0\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}&:=\left\{\gamma \in {\mathcal { P}}:\gamma {\text{ ökar strikt}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}_{\infty }&:=\left\{\gamma \in {\mathcal {K}}:\gamma {\text{ är obegränsad}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {L}}&:=\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_ {+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma {\text{ minskar strikt med }}\lim _{t\rightarrow \infty }\gamma (t)=0\}\\ [4pt]{\mathcal {KL}}&:=\left\{\beta \in C({\mathbb {R} }_{+}\times {\mathbb {R} }_{+},{\ mathbb {R} }_{+}):\beta {\text{ är kontinuerlig, }}\beta (\cdot ,t)\i {\mathcal {K}},\ \forall t\geq 0,\ \ beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}},\ \forall r>0\right\}\end{aligned}}$

Funktioner i klass ${\mathcal {P}}$ kallas också positiva-definita funktioner .

En av de viktigaste egenskaperna hos jämförelsefunktioner ges av Sontags ${\mathcal {KL}}$ -Lemma, uppkallad efter Eduardo Sontag . Det står att för varje $\beta \in {\mathcal {KL}}$ och alla $\lambda >0$ finns det $\ alpha _{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {K_{\infty }}}$ :

$\alpha _{1}(\beta (s,t))\leq \alpha _{2}(s)e^{-\lambda t},\quad t,s\in \mathbb {R} _{+}.$

 

 

 

 

()

Många andra användbara egenskaper hos jämförelsefunktioner finns i.

Jämförelsefunktioner används främst för att erhålla kvantitativa omformuleringar av stabilitetsegenskaper som Lyapunov-stabilitet, enhetlig asymptotisk stabilitet, etc. Dessa omformuleringar är ofta mer användbara än de kvalitativa definitionerna av stabilitetsegenskaper som ges i ε - δ {\displaystyle \varepsilon { $- }}\delta }$ språk.

Som ett exempel, betrakta en vanlig differentialekvation

${\dot {x}}=f(x),$

 

 

 

 

()

där ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{n}} är$ lokalt Lipschitz . Sedan:

• ( 2 ) är globalt stabil om och endast om det finns en $\sigma \in {\mathcal {K_{\infty }}}$ så att för alla initiala villkor $x_ {0}\in {\mathbb {R} }^{n}$ och för alla $t\geq 0$ gäller det att

$|x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|).$

 

 

 

 

()

• ( 2 ) är globalt asymptotiskt stabil om och endast om det finns en $\beta \in {\mathcal {KL}}$ så att för alla initiala tillstånd $x_{0} \i {\mathbb {R} }^{n}$ och för alla $t\geq 0$ gäller det att

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).$

 

 

 

 

()

Jämförelsefunktionsformalismen används flitigt i input-to-state stabilitetsteori .