Itererad integral

I multivariabelkalkyl är en itererad integral resultatet av att tillämpa integraler på en funktion av mer än en variabel (till exempel $f(x,y)$ eller ${ \displaystyle f(x,y,z)}$ ) på ett sätt som var och en av integralerna betraktar några av variablerna som givna konstanter . Till exempel kan funktionen $f(x,y)$ , om $y$ anses vara en given parameter , kan integreras med avseende på $x$ , ${\textstil \int f(x,y)\,dx}$ . Resultatet är en funktion av $y$ och därför kan dess integral övervägas. Om detta görs blir resultatet den itererade integralen

$\int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Det är nyckeln för uppfattningen om itererade integraler att detta i princip skiljer sig från multipelintegralen

$\iint f(x,y)\,dx\,dy.$

I allmänhet, även om dessa två kan vara olika, säger Fubinis teorem att under specifika förhållanden är de likvärdiga.

Den alternativa notationen för itererade integraler

$\int dy\int dx\,f(x,y)$

används också.

I notationen som använder parentes, beräknas itererade integraler enligt den operativa ordningen som anges av parentesen med början från den mest inre integralen utanför. I den alternativa notationen, när du skriver ${\textstil \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$ , beräknas den innersta integranden först.

Exempel

En enkel beräkning

För den itererade integralen

$\int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy$

integralen

$\int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx$

beräknas först och sedan används resultatet för att beräkna integralen med avseende på y .

$\int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\, dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}$

Detta exempel utelämnar integrationens konstanter. Efter den första integrationen med avseende på x skulle vi rigoröst behöva införa en "konstant" funktion av y . Det vill säga, om vi skulle differentiera den här funktionen med avseende på x , skulle alla termer som bara innehåller y försvinna och lämna den ursprungliga integranden. På liknande sätt för den andra integralen skulle vi introducera en "konstant" funktion av x , eftersom vi har integrerat med avseende på y . På detta sätt är obestämd integration inte särskilt meningsfull för funktioner av flera variabler.

Ordningen är viktig

Ordningen i vilken integralerna beräknas är viktig i itererade integraler, särskilt när integranden inte är kontinuerlig på integrationsområdet. Exempel där de olika ordningsföljderna leder till olika resultat är vanligtvis för komplicerade funktioner som den som följer.

Definiera sekvensen $a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots$ så att $a_{n}\ till 1$ . Låt $g_{n}$ vara en sekvens av kontinuerliga funktioner som inte försvinner i intervallet $(a_{n},a_{n+1})$ och noll någon annanstans, så att ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ för varje $n$ . Definiera

$f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n} (y).$

I föregående summa, vid varje specifik $(x,y)$ , skiljer sig högst en term från noll. För den här funktionen händer det att

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right) \,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy \right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1} f(x,y)\,dx\right)\,dy$

Se även

• Fubinis teorem – Villkor för att byta integrationsordning i kalkyl