Inellips

Exempel på en inellips

I triangelgeometri är en inellips en ellips som vidrör de tre sidorna av en triangel . Det enklaste exemplet är incirkeln . Ytterligare viktiga inellipser är Steiner-inellipsen , som berör triangeln vid mittpunkten av dess sidor, Mandart-inellipsen och Brocard-inellipsen (se exemplen avsnitt ). För varje triangel finns det ett oändligt antal inellipser.

Steiner-inellipsen spelar en speciell roll: Dess område är den största av alla inellipser.

Eftersom en icke-degenererad konisk sektion bestäms unikt av fem objekt ur uppsättningarna av hörn och tangenter, kan man i en triangel vars tre sidor anges som tangenter endast ange kontaktpunkterna på två sidor. Den tredje kontaktpunkten bestäms då unikt.

Parametriska representationer, centrum, konjugatdiametrar

En inellips av en triangel bestäms unikt av triangelns hörn och två kontaktpunkter

U,V

.

Triangelns inellips med hörn

O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2} ),\;B=(b_{1},b_{2})

och kontaktpunkter

U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2} )

på $OA$ respektive $displaystyle OB}$ beskrivas med den rationella parametriska representationen

$\left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2 }\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\höger)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,$

där $a,b$ bestäms unikt av valet av kontaktpunkter:

a={\frac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\frac {1}{t-1}},\ v_{i }=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.

Den tredje kontaktpunkten är

W=\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2 }b}{a+b+2}}\right)\;.

Centrum av inellipsen är

M={\frac {ab}{ab-1}}\left({\frac {u_{1}+v_{1}}{2}},{\frac {u_{2}+v_{ 2}}{2}}\right)\;.

Vektorerna

{\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}} {\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})

{\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;

är två konjugerade halvdiametrar och inellipsen har den vanligaste trigonometriska parametriska representationen

${\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.$

Brianchon punkt

K

Brianchonpunkten för inellipsen (gemensam punkt $K$ $AV}},{\overline {BU}},{$ linjerna B ) är

K:\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2 }b}{a+b+1}}\right)\ .

Att variera $s,t$ är ett enkelt alternativ för att ordinera de två kontaktpunkterna $U,V$ . De givna gränserna för $s,t$ garanterar att kontaktpunkterna är placerade på triangelns sidor. De tillhandahåller $a,b$ gränserna $-\infty <a,b<-1$ .

Anmärkning: Parametrarna $a,b$ är varken halvaxlarna för inellipsen eller längden på två sidor.

Exempel

Mandart inellips

Steiner inellips

För ${\displaystyle s=t={\tfrac {1}{2}}} är$ kontaktpunkterna $U,V,W$ mittpunkterna på sidorna och inellipsen är Steiner-inellipsen (dess centrum är triangelns tyngdpunkt).

Inringa

För $s={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{ 2|OB|}}$ en får incirkeln av triangeln med centrum

{\vec {OM}}={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|} }\;.

Mandart inellips

För $s={\tfrac {|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {-|OA|+|OB|+|AB|} {2|OB|}}$ inellipsen är triangelns Mandart-ellips . Den berör sidorna vid kontaktpunkterna för cirklarna (se diagram).

Brocard inellips

För $\ s={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\tfrac {|OA |^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;$ man får Brocard-inellipsen . Den bestäms unikt av dess Brianchon-punkt som ges i trilinjära koordinater ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)$ .

Härledningar av påståendena

Bestämning av inellipsen genom att lösa problemet för en hyperbel i ett

\xi

-

\eta

-plan och en ytterligare transformation av lösningen till x - y -planet.

M

är mitten av den sökta inellipsen och

D_{1}D_{2},\;E_{1}E_{2}

två konjugerade diametrar. I båda planen tilldelas de väsentliga punkterna av samma symboler.

g_{\infty }

är linjen i oändligheten av x - y -planet.

Nya koordinater

För att bevisa påståendena betraktar man uppgiften projektivt och introducerar lämplig ny inhomogen $\xi$ - $\eta$ -koordinater så att den önskade koniska sektionen visas som en hyperbel och punkterna $U,V$ blir punkterna i oändligheten för de nya koordinataxlarna. Punkterna $A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{ 2})$ kommer att beskrivas i det nya koordinatsystemet av $A=[a,0],B=[0,b]$ och motsvarande rad har ekvationen ${\frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta }{b}}=1$ . (Nedan kommer det att visa sig att $a,b$ verkligen har samma innebörd som introducerades i påståendet ovan.) Nu söks en hyperbel med koordinataxlarna som asymptoter, som tangerar linjen ${\overline {AB}}$ . Detta är en lätt uppgift. Genom en enkel beräkning får man hyperbeln med ekvationen $\eta ={\frac {ab}{4\xi }}$ . Den rör vid linjen ${\overline {AB}}$ vid punkten $W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac { b}{2}}]$ .

Koordinera transformation

Omvandlingen av lösningen till x - y -planet kommer att göras med hjälp av homogena koordinater och matrisen

{\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix} }\quad

.

En punkt $[x_{1},x_{2},x_{3}]$ mappas till

{\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\ \x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1 }+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\högerpil \left({\frac {u_{1}x_{1}+ v_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{ 2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\höger),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0 .

En punkt $[\xi ,\eta ]$ i $\xi$ - $\eta$ -planet representeras av kolumnvektorn $[\xi ,\eta ,1]^{T}$ (se homogena koordinater ). En punkt i oändligheten representeras av $[\cdots ,\cdots ,0]^{T}$ .

Koordinattransformation av väsentliga punkter

U:\ [1,0, 0]^{T}\ \högerpil \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \högerpil \ (v_{1},v_ {2})\ ,

O:\ [0,0]\ \högerpil \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\högerpil \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\högerpil \ (b_{1},b_{2})\ ,

(Man bör tänka på:

\ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}} ,\ v_{i}=tb_{i}\;

; se ovan.)

$g_{\infty }:\xi +\eta +1=0\$ är ekvationen för linjen vid oändligheten av x - y -planet; dess punkt i oändligheten är $[1,-1,0]^{T}$ .

[1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\color {röd}0})^{T}

Därför mappas punkten vid oändligheten av $g_{\infty }$ (i $\xi$ - $\eta$ -planet) till en punkt i oändligheten av x - y - plan. Det betyder: Hyperbelns två tangenter, som är parallella med ${\displaystyle g_{\infty }} , är$ också parallella i x - y -planet. Deras kontaktpunkter är

D_{i}:\left[{ \frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{ 2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{ 2}),\;

Eftersom ellipstangenserna vid punkterna $D_{1},D_{2}$ är parallella, är ackordet $D_{1}D_{2}$ en diameter och dess mittpunkt mitten $M$ av ellipsen

M:\ {\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2} \höger)\;.

Man kontrollerar lätt att $M$ har $\xi$ - $\eta$ -koordinaterna

\ M:\;\left[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\right]\;.

För att bestämma diametern på ellipsen, som är konjugerad till ${\displaystyle D_{1}D_{2}} ,$ i $\xi$ - $\eta$ -planet man måste bestämma de gemensamma punkterna $E_{1},E_{2}$ för hyperbeln med linjen genom $M$ parallell med tangenterna (dess ekvation är $\xi +\eta +ab=0$ ). Man får $E_{i}:\left[{\tfrac {- ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]$ . Och i x - y -koordinater:

\ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2 }+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}- v_{1},u_{2}-v_{2}\höger)\;,

Från de två konjugatdiametrarna ${\displaystyle D_{1}D_{2}, E_{1}E_{2}} kan de två vektoriella$ konjugathalvdiametrarna hämtas

{\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{ 2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;( u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}

och åtminstone den trigonometriska parametriska representationen av inellipsen:

{\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.

Analogt med fallet med en Steinerellips kan man bestämma halvaxlar, excentricitet, hörn, en ekvation i x - y -koordinater och arean av inellipsen.

Den tredje beröringspunkten $W$ på $AB$ är:

W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_ {1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.

Brianchonpunkten för inellipsen är den gemensamma punkten $K$ $overline {AV}},{\overline {BU}}, {\overline {OW}}}$ de tre linjerna \ . I $\xi$ - $\eta$ -planet har dessa linjer ekvationerna: $\xi =a\;,\ ;\eta =b\;,\;a\eta -b\xi =0$ . Därför har punkt $K$ koordinaterna:

K:\ [a,b]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\höger)\ .

Att transformera hyperbeln $\ \eta ={\frac {ab}{4\xi }}$ ger den rationella parametriska representationen av inellipsen:

\left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1} ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4 \xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .

Inringa

Incirkel av en triangel

För incirkeln finns $|OU|=|OV|$ , vilket motsvarar

(1)

\;s|OA|=t|OB|\;.\

Dessutom

(2)

\;(1-s)|OA|+(1-t)|OB|=|AB|

. (se diagram)

Att lösa dessa två ekvationer för $s,t$ får man

(3)

\;s={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\frac {|OA|+|OB|-|AB| }{2|OB|}}\;.

För att få koordinaterna för mitten beräknar man först med (1) och (3)

1-{\frac {1}{ab}}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2 (|OB|}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.

Därav

{\vec {OM}}={\frac {|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}}\;(s{\vec {OA}}+t{ \vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|} }\;.

Mandart inellips

Parametrarna $s,t$ för Mandart inellipsen kan hämtas från egenskaperna för kontaktpunkterna (se de: Ankreis ).

Brocard inellips

Brocardinellipsen för en triangel bestäms unikt av dess Brianchon-punkt given i trilinjära koordinater $\ K:(|OB|:|OA|: |AB|)\$ . Ändra de trilinjära koordinaterna till den mer bekväma representationen $\ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB} }\$ (se trilinjära koordinater ) ger $\ k_{1}={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}},\ ;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\$ . Å andra sidan, om parametrarna $s,t$ för en inellips är givna, beräknar man från formeln ovan för $K$ : $\ k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-1}},\;k_{2}={ \tfrac {t(s-1)}{st-1}}\$ . Genom att utjämna båda uttrycken för $k_{1},k_{2}$ och lösa för $s,t$ ger

s={\frac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\frac {|OA|^ {2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.

Inellips med det största området

Steiner inellipsen har den största arean av alla inellipser i en triangel.

Bevis

Från Apollonios sats om egenskaper för konjugerade halvdiametrar ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ av en ellips får man:

{\displaystyle F=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|\quad} (se artikel om Steiner

- ellipsen ) .

För inellipsen med parametrar $s,t$ får man

\det({\ vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})={\frac {1}{4}}{\frac {ab}{(ab-1)^{3/2 }}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}})

={\frac {1}{2}}{\frac {s{ \sqrt {s-1}}\;t{\sqrt {t-1}}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,

där ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2 }),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}$ . För att utelämna rötterna räcker det med att undersöka extremvärdena för funktionen $G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t -1))^{3}}}$ :