Indikatorfunktion (komplex analys)

Inom matematikområdet, känt som komplex analys , indikerar indikatorfunktionen för en hel funktion funktionens tillväxttakt i olika riktningar.

Definition

Låt oss betrakta en hel funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ . Om vi ​​antar att dess tillväxtordning är ${\displaystyle \rho } ,$ definieras indikatorfunktionen för ${\displaystyle f} att vara$

$$h_{f}(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |f(re^{i\theta })|}{r^{\rho }}} .$$

Indikatorfunktionen kan också definieras för funktioner som inte är hela utan analytiska inom en vinkel $D=\{z=re^{i\theta } :\alpha <\theta <\beta \}$ .

Grundläggande egenskaper

Genom själva definitionen av indikatorfunktionen har vi att indikatorn för produkten av två funktioner inte överstiger summan av indikatorerna:

$$h_{fg}(\theta )\leq h_{f}(\theta )+h_{g}(\theta ).$$

På samma sätt överstiger inte indikatorn för summan av två funktioner den största av de två indikatorerna:

$$h_{f+g}(\theta )\leq \max\{h_{f}(\theta ),h_{g}(\theta )\}.$$

Exempel

Elementära beräkningar visar att om ${\displaystyle f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}},$ då $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\ rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ . Således,

$$h_{f}(\theta )=A\cos(\rho \theta )-B\sin(\rho \theta ).$$

Särskilt,

$$h_{\exp }(\theta )=\cos(\theta ).$$

En annan lätt deducerbar indikatorfunktion är den för den reciproka gammafunktionen . Denna funktion är dock av oändlig typ (och av ordningen $\rho =1$ ), därför måste man definiera indikatorfunktionen för att vara

$$h_{1/\Gamma }(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |1/\Gamma (re^{i\theta })|}{r\ logga r}}.$$

Stirlings approximation av Gamma-funktionen ger då, det

$$h_{1/\Gamma }(\theta )=-\cos(\theta ).$$

Ett annat exempel är Mittag-Leffler-funktionen $E_{\alpha }$ . Denna funktion är av ordningen $\rho =1/\alpha$ , och

$$h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{för } }|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi ;\\0,&{\text{annars}}.\end{cases}}$$

Ytterligare egenskaper hos indikatorn

Dessa $h$ indikatorfunktioner som är av formen

$$h(\theta )=A\cos(\rho \theta )+B\sin(\rho \theta )$$

kallas $\rho$ -trigonometriskt konvexa ( $A$ och $B$ är reella konstanter). Om $\rho =1$ säger vi helt enkelt att $h$ är trigonometriskt konvex.

Sådana indikatorer har några speciella egenskaper. Till exempel är följande påståenden alla sanna för en indikatorfunktion som är trigonometriskt konvex åtminstone på ett intervall ( $\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ :

• Om $h(\theta _{1})=-\infty$ för en $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ , sedan $h=-\infty$ överallt i $(\alpha ,\beta )$ .
• Om $h$ är avgränsad till ${\displaystyle (\alpha ,\beta )} ,$ så är den kontinuerlig på detta intervall. Dessutom uppfyller ${\displaystyle h} ett$ Lipschitz-villkor på $(\alpha ,\beta )$ .
• Om $h$ är avgränsad till $(\alpha ,\beta )$ , så har den både vänster- och högersidiga derivator vid varje punkt i intervallet $(\alpha ,\beta )$ . Dessutom är den vänstra derivatan inte större än den högra derivatan. Det gäller också att den högra derivatan är kontinuerlig från höger, medan den vänstra derivatan är kontinuerlig från vänster.
• Om $h$ är avgränsad till $(\alpha ,\beta )$ , så har den en derivata i alla punkter, utom möjligen på en räknebar mängd.
• Om $h$ är $\rho$ -trigonometriskt konvex på $[\alpha ,\beta ]$ , då $h(\theta )+h(\theta +\pi /\rho )\geq 0$ , närhelst $\alpha \leq \theta <\theta +\pi /\rho \leq \beta$ .

Anteckningar

•   Boas, RP (1954). Hela funktionerna . Akademisk press. ISBN 0121081508 .
•   Volkovyskii, LI; Lunts, GL; Aramanovich, IG (2011). En samling problem om komplex analys . Dover Publikationer. ISBN 978-0486669137 .