IP-uppsättning

Inom matematiken är en IP-mängd en uppsättning naturliga tal som innehåller alla ändliga summor av någon oändlig mängd .

De ändliga summorna av en uppsättning D av naturliga tal är alla de tal som kan erhållas genom att lägga ihop elementen i någon ändlig icke-tom delmängd av D . Mängden av alla ändliga summor över D betecknas ofta som FS( D ). Något mer generellt, för en sekvens av naturliga tal ( n _i ), kan man betrakta uppsättningen av ändliga summor FS(( n _i )), bestående av summorna av alla ändliga längdsubsekvenser av ( n _i ).

En mängd A med naturliga tal är en IP-mängd om det finns en oändlig mängd D så att FS( D ) är en delmängd av A . På motsvarande sätt kan man kräva att A innehåller alla ändliga summor FS(( n _i )) av en sekvens ( n _i ).

Vissa författare ger en något annorlunda definition av IP-uppsättningar: De kräver att FS( D ) är lika med A istället för att bara vara en delmängd.

Termen IP-uppsättning myntades av Hillel Furstenberg och Benjamin Weiss för att förkorta " i nfinite-dimensional p arallelepiped ". Serendipitalt kan förkortningen IP också utökas till " i dem p otent" (en uppsättning är IP om och endast om den är medlem i ett idempotent ultrafilter ).

Hindmans teorem

Om $S$ är en IP-uppsättning och $S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}$ , då är minst en $C_{i}$ en IP-uppsättning. Detta är känt som Hindmans teorem eller ändliga summasatsen . I olika termer säger Hindmans teorem att klassen av IP-uppsättningar är partition regular .

Eftersom själva mängden naturliga tal är en IP-mängd och partitioner också kan ses som färger, kan man omformulera ett specialfall av Hindmans sats i mer välbekanta termer: Antag att de naturliga talen är "färgade" med n olika färger ; varje naturligt tal får en och endast en färg. Sedan finns det en färg c och en oändlig mängd D av naturliga tal, alla färgade med c , så att varje ändlig summa över D också har färgen c .

Hindmans sats är uppkallad efter matematikern Neil Hindman, som bevisade det 1974. Milliken–Taylors sats är en vanlig generalisering av Hindmans sats och Ramseys sats .

Semigrupper

Definitionen av att vara IP har utökats från delmängder av den speciella semigruppen av naturliga tal med tillägg till delmängder av semigrupper och partiella semigrupper i allmänhet. En variant av Hindmans teorem är sant för godtyckliga semigrupper.

Se även

• Ergodisk Ramsey-teori
• Styckvis syndetisk set
• Syndetisk set
• Tjockt set

Vidare läsning

• Vitaly Bergelson , IJH Knutson, R. McCutcheon " Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems" Acta Arith. 116 , Academia Scientiarum Polona, ​​(2005), 13-23
• Vitaly Bergelson , " Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory " Ämnen i Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310 , Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
• Bergelson, Vitaly ; Hindman, Neil (2001). "Vanliga strukturer för partitioner som finns i stora uppsättningar är rikliga" ( PDF) . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 93 (1): 18–36. doi : 10.1006/jcta.2000.3061 . Hämtad 18 september 2022 .
• J. McLeod, " Some Notions of Size in Partial Semigroups ", Topology Proceedings , Vol. 25 (2000), s. 317–332