Hyperkon

Stereografisk projektion av en sfärisk kons genererande linjer (röd), paralleller (grön) och hypermeridianer (blå). På grund av konforma egenskaper hos stereografisk projektion, skär kurvorna varandra ortogonalt (i de gula punkterna) som i 4D. Alla kurvor är cirklar eller raka linjer. Generatriserna och parallellerna genererar en 3D-dubbelkon. Hypermeridianerna genererar en uppsättning koncentriska sfärer.

I geometri är en hyperkon (eller sfärisk kon ) figuren i det 4-dimensionella euklidiska utrymmet som representeras av ekvationen

x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.

Det är en kvadratisk yta och är en av de möjliga 3- grenrören som är 4-dimensionella ekvivalenter till den koniska ytan i 3 dimensioner. Den kallas också "sfärisk kon" eftersom dess skärningar med hyperplan som är vinkelräta mot w -axeln är sfärer . En fyrdimensionell höger hyperkon kan ses som en sfär som expanderar med tiden och börjar sin expansion från en enda punktkälla, så att mitten av den expanderande sfären förblir fixerad. En sned hyperkon skulle vara en sfär som expanderar med tiden, återigen börjar sin expansion från en punktkälla, men så att centrum av den expanderande sfären rör sig med en enhetlig hastighet.

Parametrisk form

En höger sfärisk hyperkon kan beskrivas med funktionen

{\vec} {\displaystyle {\vec}} phi ,\theta ,t)=(ts\cos \theta \cos \phi ,ts\cos \theta \sin \phi ,ts\sin \theta ,t)

med vertex vid origo och expansionshastighet s .

En höger sfärisk hyperkon med radie r och höjd h kan beskrivas med funktionen

{\vec {\sigma } ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)

En sned sfärisk hyperkon skulle då kunna beskrivas med funktionen

_ \displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi ,v_{y}t+ts\cos \theta \sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)}

där $(v_{x},v_{y},v_{z})$ är 3-hastigheten för mitten av den expanderande sfären. Ett exempel på en sådan kon skulle vara en expanderande ljudvåg sett ur en rörlig referensrams synvinkel: t.ex. ljudvågen från ett jetflygplan sett från jetplanets egen referensram.

Observera att 3D-ytorna ovan omsluter 4D-hypervolymer , som är de egentliga 4-konerna.

Geometrisk tolkning

Den sfäriska konen består av två obegränsade tupplurar , som möts vid ursprunget och är analogerna till tupplurarna på den 3-dimensionella koniska ytan. Den övre nappen motsvarar hälften med positiva w -koordinater, och den nedre nappen motsvarar hälften med negativa w -koordinater.

Om det är begränsat mellan hyperplanen w = 0 och w = r för vissa icke-noll r , då kan det stängas av en 3-kula med radien r , centrerad vid (0,0,0, r ), så att den begränsar en ändlig 4-dimensionell volym. Denna volym ges av formeln 1/3 - . $π$ r ⁴ , och är den 4 dimensionella ekvivalenten till den solida konen Bollen kan ses som "locket" vid basen av den 4-dimensionella konens nappa, och ursprunget blir dess "spets".

Denna form kan projiceras in i ett tredimensionellt utrymme på olika sätt. Om den projiceras på xyz- hyperplanet är dess bild en boll . Om den projiceras på xyw , xzw eller yzw är dess bild en solid kon . Om den projiceras på ett snett hyperplan är dess bild antingen en ellipsoid eller en solid kon med en ellipsoidal bas (som liknar en glassstrut ). Dessa bilder är analogerna till de möjliga bilderna av den solida konen projicerade till 2 dimensioner.

Konstruktion

Den (halva) hyperkonen kan konstrueras på ett sätt analogt med konstruktionen av en 3D-kon. En 3D-kon kan ses som ett resultat av att stapla gradvis mindre skivor ovanpå varandra tills de avsmalnar till en punkt. Alternativt kan en 3D-kon ses som volymen som svepas ut av en upprättstående likbent triangel när den roterar runt sin bas.

En 4D-hyperkon kan konstrueras analogt: genom att stapla gradvis mindre bollar ovanpå varandra i den fjärde riktningen tills de avsmalnar till en punkt, eller genom att ta hypervolymen som svepas ut av en tetraeder som står upprätt i den fjärde riktningen när den roterar fritt runt sin bas i 3D-hyperplanet som den vilar på.

Mått

Hypervolym

Hypervolymen för en fyrdimensionell pyramid och kon är

H={\frac {1}{4}}Vh

där V är basens volym och h är höjden (avståndet mellan basens centrum och spetsen). För en sfärisk kon med basvolymen ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ är hypervolymen

H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4} }\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h

Ytvolym

Den laterala ytvolymen för en höger sfärisk kon är ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$ där $r$ är radien för den sfäriska basen och $l$ är konens lutande höjd (avståndet mellan sfärens 2D-yta och spetsen). Ytvolymen på den sfäriska basen är densamma som för vilken sfär som helst, ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ . Därför kan den totala ytvolymen för en höger sfärisk kon uttryckas på följande sätt:

Radie och höjd

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r ^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

(basens volym plus volymen på den laterala 3D-ytan; termen ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ är lutningshöjden)

${\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^ {2}}}\right)$

där $r$ är radien och $h$ är höjden.

Radie och lutningshöjd

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2} l$

${\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)$

där $r$ är radien och $l$ är lutningshöjden.

Ytarea, radie och lutningshöjd

${\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al$

${\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)$

där $A$ är basytan, $r$ är radien och $l$ är lutningshöjden.

Temporal tolkning

Om w -koordinaten för den sfäriska konens ekvation tolkas som avståndet ct , där t är koordinattiden och c är ljusets hastighet (en konstant), så är det formen på ljuskäglan i speciell relativitet . I det här fallet skrivs ekvationen vanligtvis som:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,

vilket också är ekvationen för sfäriska vågfronter av ljus. Den övre nappen är då den framtida ljuskonen och den nedre nappen är den tidigare ljuskonen .

Se även