Howson egendom

I det matematiska ämnet gruppteori är Howson -egenskapen , även känd som finitely genered intersection property (FGIP), egenskapen för en grupp som säger att skärningen av två ändligt genererade undergrupper i denna grupp återigen genereras ändligt. Fastigheten är uppkallad efter Albert G. Howson som i en tidning från 1954 slog fast att fria grupper har denna egendom.

Formell definition

En grupp $G$ sägs ha Howson-egenskapen om för varje ändligt genererad undergrupp $H,K$ av $G$ deras skärningspunkt $H\cap K$ är återigen en ändligt genererad undergrupp av $G$ .

Exempel och icke-exempel

• Varje finit grupp har egenskapen Howson.
• Gruppen $G=F(a,b)\times \mathbb {Z}$ har inte Howson-egenskapen. Specifikt, om $t$ är generatorn av $\mathbb {Z}$ faktorn för $G$ , då för $H=F( a,b)$ och $K=\langle a,tb\rangle \leq G$ , man har $H\cap K=\operatörsnamn {ncl} _{F(a,b)}(a)$ . Därför genereras inte ${\displaystyle H\cap K} ändligt.$
• Om $\Sigma$ är en kompakt yta så har grundgruppen $\pi _{1}(\Sigma )$ av $\Sigma$ egenskapen Howson.
• En fri-för-(oändlig cyklisk grupp) ${\displaystyle F_{n}\rtimes \mathbb {Z} } ,$ där $n\geq 2$ , har aldrig Howson-egenskapen.
• Med tanke på de senaste bevisen för Virtually Haken-förmodan och den virtuellt fiberformade antagandet $) {\displaystyle \pi _{1} (M)}$ 3-grenrör, antyder tidigare etablerade resultat att om är ett slutet hyperboliskt 3-grenrör då har inte Howson-egenskapen.
• Bland 3-manifold grupper finns det många exempel som har och inte har Howson-egenskapen. 3-manifoldgrupper med Howson-egenskapen inkluderar fundamentala grupper av hyperboliska 3-manifolder med oändlig volym, 3-manifoldgrupper baserade på Sol- och Nil -geometrier, såväl som 3-manifoldgrupper erhållna genom någon sammankopplad summa- och JSJ-nedbrytningskonstruktion .
• För varje $n\geq 1$ gruppen Baumslag–Solitar $BS(1,n)= \langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle$ har egenskapen Howson.
• Om G är en grupp där varje ändligt genererad undergrupp är Noetherian så har G Howson-egenskapen. I synnerhet har alla abelska grupper och alla nilpotenta grupper Howson-egenskapen.
• Varje polycyklisk-för-ändlig grupp har Howson-egenskapen.
• Om $A,B$ är grupper med Howson-egenskapen så har deras fria produkt $A\ast B$ också Howson-egenskapen. Mer allmänt bevaras Howson-egenskapen genom att ta sammanslagna gratisprodukter och HNN-utvidgning av grupper med Howson-egenskapen över ändliga undergrupper.
• I allmänhet är Howson-egenskapen ganska känslig för sammanslagna produkter och HNN-tillägg över oändliga undergrupper. I synnerhet för de fria grupperna $F,F'$ och en oändlig cyklisk grupp $C$ , den sammanslagna fria produkten $F\ast _{C}F '$ har egenskapen Howson om och endast om $C$ är en maximal cyklisk undergrupp i både $F$ och $F'$ .
• En rätvinklig Artin-grupp $A(\Gamma )$ har Howson-egenskapen om och endast om varje ansluten komponent i $\Gamma$ är en komplett graf.
• Limit-grupper har egenskapen Howson.
• Det är inte känt om $SL(3,\mathbb {Z} )$ har egenskapen Howson.
• För $n\geq 4$ innehåller gruppen ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )} en undergrupp som är isomorf till$$F(a,b)\times F(a,b)$ och har inte Howson-egenskapen.
• Många små avbokningsgrupper och Coxeter-grupper , som uppfyller villkoret "perimeterreduktion" i sin presentation, är lokalt kvasikonvexa ordhyperboliska grupper och har därför Howson-egenskapen.
• Enrelatorgrupper $G=\langle x_{1},\dots ,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle$ , där $n\geq |r|$ är också lokalt kvasikonvexa ordhyperboliska grupper och har därför egenskapen Howson.
• Grigorchuk -gruppen G av medeltillväxt har inte Howson-egenskapen.
• Howson-egenskapen är inte en första ordningens egenskap, det vill säga Howson-egenskapen kan inte karakteriseras av en samling av första ordningens gruppspråkformler .
• En fri pro-p-grupp $F$ uppfyller en topologisk version av Howson-egenskapen: Om $H,K$ är topologiskt ändligt genererade slutna undergrupper av $F$ så är deras skärningspunkt $H\cap K$ genereras topologiskt ändligt.
• För alla fasta heltal $m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,$ en ``generisk" $m$ -generator ${ \displaystyle n}$ -relator group $G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\ dots ,r_{n}\rangle$ har egenskapen att för alla $d$ -genererade undergrupper $H,K\leq G$ deras skärningspunkt $H\cap K$ genereras åter ändligt.
• Kransprodukten $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$ har inte Howson-egenskapen.
• Thompsons grupp $F$ har inte Howson-egenskapen, eftersom den innehåller $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$ .

Se även

• Hanna Neumann gissningar