Homogent träd

I deskriptiv mängdlära sägs ett träd över en produktmängd ${\displaystyle Y\times Z} vara$ homogent om det finns ett system av mått $\langle \ mu _{s}\mid s\in {}^{<\omega }Y\rangle$ så att följande villkor gäller:

• $\mu _{s}$ är ett räkningsbart additivt mått på $\{t\mid \langle s,t\rangle \in T\}$ .
• Måtten är i någon mening kompatibla under restriktioner av sekvenser: om $s_{1}\subseteq s_{2}$ så är $\mu _{s_{1}}(X)=1\iff \mu _{s_{2}}(\{t\mid t\ uppåt höger lh(s_{1})\in X\})=1$ .
• Om $x$ är i projektionen av $T$ , ultrakraften med $\upharpoonright n}\mid n\ i \omega \rangle }$ x är välgrundad.

En likvärdig definition skapas när det slutliga villkoret ersätts med följande:

• Det finns ${\displaystyle \langle \mu _{s}\mid s\in {}^{\omega }Y\rangle } så att om$ x $\displaystyle x}$ finns i projektion av $[T]$ och $\forall n\in \omega \,\mu _{x\upharpoonright n}(X_ {n})=1$ , då finns det $f\in {}^{\omega }Z$ så att $\forall n\in \omega \,f\upharpoonright n\in X_{n}$ . Detta tillstånd kan ses som ett slags räknebart fullständighetsvillkor för åtgärdssystemet.

$T$ sägs vara $\kappa$ -homogen om varje $\mu _{s}$ är $\kappa$ -komplett.

Homogena träd är involverade i Martin och Steels bevis på projektiv beslutsamhet .

•   Martin, Donald A. och John R. Steel (januari 1989). "Ett bevis på projektiv beslutsamhet" . Journal of the American Mathematical Society . Journal of the American Mathematical Society, vol. 2, nr 1. 2 (1): 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR 1990913 .