Hitchin–Thorpe ojämlikhet

I differentialgeometri är Hitchin -Thorpe-ojämlikheten en relation som begränsar topologin för 4-grenrör som bär en Einstein-metrik .

Uttalande om ojämlikheten mellan Hitchin och Thorpe

Låt M vara ett slutet , orienterat, fyrdimensionellt jämnt grenrör . Om det finns ett Riemann-mått på M som är ett Einstein-mått , då

\chi (M)\geq {\frac {3}{2}}|\tau (M)|,

där $χ(M)$ är Eulerkarakteristiken för $M$ och $τ(M)$ är signaturen för $M$ .

Denna ojämlikhet påstods först av John Thorpe i en fotnot till ett papper från 1969 som fokuserade på grenrör av högre dimension. Nigel Hitchin återupptäckte sedan ojämlikheten, och gav en fullständig karaktärisering av jämställdhetsfallet 1974; han fann att om $(M, g)$ är en Einstein-manifold för vilken likhet i Hitchin-Thorpe-olikheten erhålls, så är Ricci-krökningen för $g$ noll; om tvärsnittskrökningen inte är identiskt lika med noll, så är $(M, g) ett$ Calabi-Yau-grenrör vars universella lock är en K3-yta .

Redan 1961 visade Marcel Berger att Euler-karaktäristiken alltid är icke-negativ.

Bevis

Låt $(M, g)$ vara ett fyrdimensionellt jämnt Riemann-grenrör som är Einstein. Givet vilken punkt $p som helst$ av $M$ finns det en $g p$ -ortonormal bas $e 1, e 2, e 3, e 4$ av tangentrymden $T p M$ så att krökningsoperatorn $Rm p$ , som är en symmetrisk linjär karta av $\land 2 T p M$ i sig själv, har matris

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0&\mu _{1} \0&\lambda _{2}&0&0&\mu _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}&0&0&\mu _{3}\\\mu _{1}&0&0&\lambda _{1}&0&0\\ 0&\mu _{2}&0&0&\lambda _{2}&0\\0&0&\mu _{3}&0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}

i förhållande till basen $e 1 \land e 2, e 1 \land e 3, e 1 \land e 4, e 3 \land e 4, e 4 \land e 2, e 2 \land e 3$ . Man har att $μ 1 + μ 2 + μ 3$ är noll och att $λ 1 + λ 2 + λ 3$ är en fjärdedel av den skalära krökningen av $g$ vid $p$ . Vidare, under villkoren $λ 1 \leq λ 2 \leq λ 3$ och $μ 1 \leq μ 2 \leq μ 3$ , är var och en av dessa sex funktioner unikt bestämd och definierar en kontinuerlig verklig funktion på $M$ .

Enligt Chern-Weils teori , om $M$ är orienterad kan Euler-karaktäristiken och signaturen för $M$ beräknas av

{\begin{aligned}\chi (M)&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{M}{\big (}\lambda _{1}^ {2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2}{\big )}\,d\mu _{g}\\\tau (M)&={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\int _ {M}{\big (}\lambda _{1}\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big ) }\,d\mu _{g}.\end{aligned}}

Utrustad med dessa verktyg uppgår Hitchin-Thorpe-ojämlikheten till den elementära observationen

\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _ {2}^{2}+\mu _{3}^{2}=\underbrace {(\lambda _{1}-\mu _{1})^{2}+(\lambda _{2}- \mu _{2})^{2}+(\lambda _{3}-\mu _{3})^{2}} _{\geq 0}+2{\big (}\lambda _{1 }\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big )}.

Misslyckande av det omvända

En naturlig fråga att ställa är om ojämlikheten mellan Hitchin och Thorpe ger ett tillräckligt villkor för existensen av Einstein-mått. 1995 Claude LeBrun och Andrea Sambusetti oberoende att svaret är nej: det finns oändligt många icke-homeomorfa kompakta, släta, orienterade 4-grenrör $M$ som inte bär några Einstein-mått men som ändå uppfyller

\chi (M)>{\frac {3}{2}}|\tau (M)|.

LeBruns exempel är faktiskt helt enkelt sammankopplade, och det relevanta hindret beror på grenrörets smidiga struktur. Däremot gäller Sambusettis obstruktion endast 4-grenrör med oändlig fundamental grupp, men volym-entropiuppskattningen han använder för att bevisa icke-existens beror bara på homotopitypen för grenröret.

Fotnoter

^ Thorpe, J. (1969). "Några anmärkningar om Gauss-Bonnet-formeln". J. Math. Mech . 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137 .
^ Hitchin, N. (1974). "Kompakta fyrdimensionella Einstein-grenrör" . J. Diff. Geom . 9 (3): 435–442. doi : 10.4310/jdg/1214432419 .
^ Berger, Marcel (1961). "Sur quelques variétés d'Einstein kompakterar" . Annali di Matematica Pura ed Applicata (på franska). 53 (1): 89–95. doi : 10.1007/BF02417787 . ISSN 0373-3114 . S2CID 117985766 .
^ Besse, Arthur L. (1987). Einsteins grenrör . Klassiker i matematik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-74120-8 .
^ LeBrun, C. (1996). "Fyra grenrör utan Einstein-mått" . Matematik. Res. Bokstäver . 3 (2): 133–147. doi : 10.4310/MRL.1996.v3.n2.a1 .
^ Sambusetti, A. (1996). "Ett hinder för förekomsten av Einstein-mått på 4-grenrör". CR Acad. Sci. Paris . 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442 .

Besse, Arthur L. (1987). Einsteins grenrör . Klassiker i matematik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-74120-8 .

[1] Thorpe, J. (1969). "Några anmärkningar om Gauss-Bonnet-formeln". J. Math. Mech . 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137 .

[2] Hitchin, N. (1974). "Kompakta fyrdimensionella Einstein-grenrör" . J. Diff. Geom . 9 (3): 435–442. doi : 10.4310/jdg/1214432419 .

[3] Berger, Marcel (1961). "Sur quelques variétés d'Einstein kompakterar" . Annali di Matematica Pura ed Applicata (på franska). 53 (1): 89–95. doi : 10.1007/BF02417787 . ISSN 0373-3114 . S2CID 117985766 .

[4] Besse, Arthur L. (1987). Einsteins grenrör . Klassiker i matematik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-74120-8 .

[5] LeBrun, C. (1996). "Fyra grenrör utan Einstein-mått" . Matematik. Res. Bokstäver . 3 (2): 133–147. doi : 10.4310/MRL.1996.v3.n2.a1 .

[6] Sambusetti, A. (1996). "Ett hinder för förekomsten av Einstein-mått på 4-grenrör". CR Acad. Sci. Paris . 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442 .