Hessisk par
I matematik är ett hessiskt par eller hessisk duad , uppkallad efter Otto Hesse , ett par punkter på den projektiva linjen som kanoniskt associeras med en uppsättning av 3 punkter på den projektiva linjen. Mer generellt kan man definiera det hessiska paret av varje trippel av element från en uppsättning som kan identifieras med en projektiv linje, såsom en rationell kurva, en penna med divisorer, en penna med linjer och så vidare.
Definition
Om { A , B , C } är en uppsättning av 3 distinkta punkter på den projektiva linjen, så är det hessiska paret en mängd { P , Q } av två punkter som kan definieras av någon av följande egenskaper:
- P och Q är rötterna till hessian av den binära kubiska formen med rötterna A , B , C .
- P och Q är de två punkter som fixeras av den unika projektiva transformationen som tar A till B , B till C och C till A.
- P och Q är de två punkter som när de adderas till A , B , C bildar en ekvianharmonisk mängd (en mängd med 4 punkter med korsförhållandet en kubrot av 1).
- P och Q är bilderna av 0 och ∞ under den projektiva transformationen som tar de tre kubrötterna av 1 till A , B , C .
Exempel
Hesse-punkter kan användas för att lösa kubiska ekvationer enligt följande. Om A , B , C är tre rötter av en kubik, så kan Hesse-punkterna hittas som rötter till en andragradsekvation. Om Hesse-punkterna sedan transformeras till 0 och ∞ genom en linjär bråkdeltransformation, transformeras den kubiska ekvationen till en av formen x 3 = D .
Se även
- Edge, WL (1978), "Bring's curve", Journal of the London Mathematical Society , 18 (3): 539–545, doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 , ISSN 0024-6107 , MR 0518240
- Inoue, Naoki; Kato, Fumiharu (2005), "On the geometry of Wiman's sextic" , Journal of Mathematics of Kyoto University , 45 (4): 743–757, doi : 10.1215/kjm/1250281655 , ISSN 0023-6282X , 6MR 6282X