Hasse derivat

I matematik är Hasse-derivatan en generalisering av derivatan som tillåter formuleringen av Taylors teorem i koordinatringar av algebraiska varianter .

Definition

Låt k [ X ] vara en polynomring över ett fält k . Den r -:e Hasse-derivatan av X ⁿ är

$D^{(r)}X^{n}={\binom {n}{r}}X^{nr},$

om n ≥ r och noll annars. I karakteristik noll har vi

$D^{(r)}={\frac {1}{r!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} X}}\right)^{r }\ .$

Egenskaper

Hasse-derivatan är en generaliserad härledning på k [ X ] och sträcker sig till en generaliserad härledning på funktionsfältet k ( X ), som uppfyller en analog till produktregeln

$D^{(r)}(fg)=\summa _{i=0 }^{r}D^{(i)}(f)D^{(ri)}(g)$

och en analog till kedjeregeln. Observera att $D^{(r)}$ i sig inte är härledningar i allmänhet, utan är nära besläktade.

En form av Taylors teorem gäller för en funktion f definierad i termer av en lokal parameter t på en algebraisk variant:

$f=\sum _{r}D^{(r)}(f)\cdot t^{r}\ .$

•    Goldschmidt, David M. (2003). Algebraiska funktioner och projektiva kurvor . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 215. New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95432-5 . Zbl 1034.14011 .