Hasegawa–Mima ekvation

Inom plasmafysik är Hasegawa –Mima-ekvationen , uppkallad efter Akira Hasegawa och Kunioki Mima , en ekvation som beskriver en viss regim av plasma , där tidsskalorna är mycket snabba, och avståndsskalan i magnetfältets riktning är lång . Speciellt är ekvationen användbar för att beskriva turbulens i vissa tokamaks . Ekvationen introducerades i Hasegawa och Mimas papper som lämnades in 1977 till Physics of Fluids , där de jämförde den med resultaten av ATC-tokamak.

Antaganden

• Magnetfältet är tillräckligt stort för att:

${\frac {1}{\omega _{ci}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\ll 1$

för alla kvantiteter av intresse. När partiklarna i plasman rör sig genom ett magnetfält snurrar de i en cirkel runt magnetfältet. Svängningsfrekvensen, $\omega _{ci}$ känd som cyklotronfrekvensen eller gyrofrekvensen, är direkt proportionell mot magnetfältet.

• Partikeldensiteten följer kvasineutralitetsvillkoret:

$n_{e}\approx Zn_{i}\,$

där Z är antalet protoner i jonerna. Om vi ​​pratar om väte Z = 1, och n är detsamma för båda arterna. Detta tillstånd är sant så länge som elektronerna kan skärma av elektriska fält. Ett moln av elektroner kommer att omge alla laddningar med en ungefärlig radie som kallas Debye-längden . Av den anledningen betyder denna approximation att storleksskalan är mycket större än Debye-längden. Jonpartikeldensiteten kan uttryckas av en första ordningens term som är densiteten som definieras av kvasineutralitetsvillkorsekvationen, och en andra ordningens term som är hur mycket den skiljer sig från ekvationen.

• Den första ordningens jonpartikeltäthet är en funktion av position, men inte tid. Detta innebär att störningar av partikeldensiteten förändras på en tidsskala som är mycket långsammare än skalan av intresse. Andra ordningens partikeldensitet som orsakar en laddningstäthet och därmed en elektrisk potential kan förändras med tiden.
• Magnetfältet B måste vara enhetligt i rymden och inte vara en funktion av tiden. Magnetfältet rör sig också på en tidsskala som är mycket långsammare än skalan av intresse. Detta gör att tidsderivatan i momentumbalansekvationen kan försummas.
• Jontemperaturen måste vara mycket lägre än elektrontemperaturen. Detta innebär att jontrycket kan försummas i jonmomentbalansekvationen.
• Elektronerna följer en Boltzmann-fördelning där:

$n=n_{0}e^{e\phi /T_{e}}\,$

Eftersom elektronerna är fria att röra sig längs magnetfältets riktning så avskärmar de bort elektriska potentialer. Denna screening gör att en Boltzmann-fördelning av elektroner bildas runt de elektriska potentialerna.

Ekvationen

Hasegawa–Mima-ekvationen är en andra ordningens ickelinjär partiell differentialekvation som beskriver den elektriska potentialen. Formen på ekvationen är:

${\frac {\partial t }}\left(\nabla ^{2}\phi -\phi \right)-\left[\left(\nabla \phi \times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \nabla \right ]\left[\nabla ^{2}\phi -\ln \left(n_{0}\right)\right]=0.$

Även om kvasi-neutralitetsvillkoret gäller, orsakar de små skillnaderna i densitet mellan elektronerna och jonerna en elektrisk potential. Hasegawa–Mima-ekvationen är härledd från kontinuitetsekvationen:

${\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot (n\mathbf {v} )=0.$

Vätskehastigheten kan approximeras av E-kors B-driften:

$\mathbf {v_{E}} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{cB^{2}}}={\frac {-\nabla \phi \times \ mathbf {\hat {z}} }{cB}}.$

Tidigare modeller härledde sina ekvationer från denna approximation. Divergensen för E-kors B-driften är noll, vilket håller vätskan inkompressibel. Emellertid är vätskans kompressibilitet mycket viktig för att beskriva systemets utveckling. Hasegawa och Mima hävdade att antagandet var ogiltigt. Hasegawa–Mima-ekvationen introducerar en andra ordningens term för vätskehastigheten känd som polarisationsdriften för att hitta divergensen av vätskehastigheten. På grund av antagandet om stort magnetfält är polarisationsdriften mycket mindre än E-kors B-driften. Ändå introducerar den viktig fysik.

För en tvådimensionell inkompressibel vätska som inte är ett plasma, säger Navier–Stokes ekvationer :

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\ psi \right)-\left[\left(\nabla \psi \times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \nabla \right]\nabla ^{2}\psi =0$

efter att ha tagit kurvan för momentumbalansekvationen. Denna ekvation är nästan identisk med Hasegawa–Mima-ekvationen förutom att den andra och fjärde termen är borta, och den elektriska potentialen ersätts med vätskehastighetsvektorpotentialen där:

$\mathbf {v} =-\nabla \psi \times \mathbf {\hat {z}} .$

De första och tredje termerna i Hasegawa–Mima-ekvationen, som är samma som Navier Stokes-ekvationen, är termerna som introduceras genom att addera polarisationsdriften. I gränsen där våglängden för en störning av den elektriska potentialen är mycket mindre än gyroradius baserat på ljudhastigheten, blir Hasegawa–Mima-ekvationerna desamma som den tvådimensionella inkompressibla vätskan.

Normalisering

Ett sätt att förstå en ekvation mer fullständigt är att förstå vad den är normaliserad till, vilket ger dig en uppfattning om skalorna av intresse. Tiden, positionen och den elektriska potentialen är normaliserade till t',x' och $\phi '$

Tidsskalan för Hasegawa–Mima-ekvationen är den inversa jongyrofrekvensen:

$t'=\omega _{ci}t,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega _{ci}={\frac {eZB}{m_{i}c}}.$

Från antagandet om stort magnetfält är den normaliserade tiden mycket liten. Den är dock fortfarande tillräckligt stor för att få information ur den.

Avståndsskalan är gyroradius baserat på ljudhastigheten:

$x'={\frac {x}{\rho _{s}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho _{s}^{2}\equiv {\frac { T_{e}}{m_{i}\omega _{ci}^{2}}}.$

Om du transformerar till k-rymden är det tydligt att när k, vågnumret, är mycket större än ett, blir termerna som gör att Hasegawa–Mima-ekvationen skiljer sig från ekvationen som härleds från Navier-Stokes ekvation i ett tvådimensionellt inkompressibelt flöde. mycket mindre än resten.

Från avstånds- och tidsskalorna kan vi bestämma skalan för hastigheter. Detta visar sig vara ljudhastigheten. Hasegawa–Mima-ekvationen visar oss dynamiken hos ljud som rör sig snabbt i motsats till den långsammare dynamiken som flöden som fångas i MHD-ekvationerna . Rörelsen är till och med snabbare än ljudhastigheten givet att tidsskalorna är mycket mindre än tidsnormaliseringen.

Potentialen är normaliserad till:

$\phi '={\frac {e\phi }{T_{e}}}.$

Eftersom elektronerna passar en Maxwellian och kvasineutralitetsvillkoret gäller, är denna normaliserade potential liten, men liknar den normaliserade tidsderivatan.

Hela ekvationen utan normalisering är:

${\frac {1}{\omega _{ci}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\ rho _{s}^{2}\nabla ^{2}{\frac {e\phi }{T_{e}}}-{\frac {e\phi}{T_{e}}}\right)- \left[\left(\rho _{s}\nabla {\frac {e\phi }{T_{e}}}\times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \rho _{s }\nabla \right]\left[\rho _{s}^{2}\nabla ^{2}{\frac {e\phi }{T_{e}}}-\ln \left({\frac { n_{0}}{\omega _{ci}}}\right)\right]=0.$

Även om tidsderivatan dividerat med cyklotronfrekvensen är mycket mindre än enhet, och den normaliserade elektriska potentialen är mycket mindre än enhet, så länge som gradienten är i storleksordningen ett, är båda termerna jämförbara med den olinjära termen. Den opåverkade densitetsgradienten kan också vara lika liten som den normaliserade elektriska potentialen och vara jämförbar med de andra termerna.

Andra former av ekvationen

Ofta uttrycks Hasegawa–Mima-ekvationen i en annan form med hjälp av Poisson-parenteser . Dessa Poisson-fästen definieras som:

$\left[A,B\right]\equiv {\frac {\partial A}{\partial x}}{\frac {\partial B}{\partial y}}-{\frac {\partial A }{\partial y}}{\frac {\partial B}{\partial x}}.$

Med hjälp av dessa Poisson-parenteser kan ekvationen återuttryckas som:

${\frac {\partial }{\partial t}} \left(\nabla ^{2}\phi -\phi \right)+\left[\phi ,\nabla ^{2}\phi \right]-\left[\phi ,\ln \left({\frac {n_{0}}{\omega _{ci}}}\right)\right]=0.$

Ofta antas partikeldensiteten variera likformigt bara i en riktning, och ekvationen skrivs i en helt annan form. Poisson-parentesen inklusive densiteten ersätts med definitionen av Poisson-parentesen, och en konstant ersätter derivatan av den densitetsberoende termen.

Konserverade mängder

Det finns två kvantiteter som bevaras i en tvådimensionell inkompressibel vätska. Kinetisk energi :

$\int \left(\nabla \psi \right)^{2}dV=\int v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\,dV.$

Och enstrofin :

$\int \left(\nabla ^{2}\psi \right)^{2}\,dV=\int \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)^{2}\, dV.$

För Hasegawa–Mima-ekvationen finns det också två bevarade kvantiteter, som är relaterade till ovanstående kvantiteter. Den generaliserade energin:

$\int \left[\phi ^{2}+\left(\nabla \phi \right)^{2}\right]\,dV.$

Och den generaliserade enstrofin:

$\int \left[\left(\nabla \phi \right)^{2}+\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}\right]\,dV.$

I gränsen där Hasegawa–Mima-ekvationen är densamma som en inkompressibel vätska, blir den generaliserade energin och enstrofin samma som den kinetiska energin och enstrofin.

Se även

• Magnetohydrodynamik
• Navier–Stokes ekvationer
• Plasma (fysik)
• Turbulens

•   Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (1978). "Pseudo-tredimensionell turbulens i magnetiserad ojämn plasma". Vätskors fysik . AIP-publicering. 21 (1): 87–92. Bibcode : 1978PhFl...21...87H . doi : 10.1063/1.862083 . ISSN 0031-9171 .
•   Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (1977-07-25). "Stationärt spektrum av stark turbulens i magnetiserat olikformigt plasma". Fysiska granskningsbrev . American Physical Society (APS). 39 (4): 205–208. Bibcode : 1977PhRvL..39..205H . doi : 10.1103/physrevlett.39.205 . ISSN 0031-9007 .

externa länkar

• http://www.ipp.mpg.de/~fsj/PAPERS_1/tutorial_3.pdf