Projektiv harmonisk konjugat

D är det harmoniska konjugatet av C med avseende på A och B . A, D, B, C bildar ett övertonsområde. KLMN är en komplett fyrkant som genererar den.

I projektiv geometri definieras den harmoniska konjugerade punkten för en ordnad trippel av punkter på den verkliga projektiva linjen av följande konstruktion:

Givet tre kolinjära punkter A, B, C , låt L vara en punkt som inte ligger på deras sammanfogning och låt vilken linje som helst genom C möta LA, LB vid M, N respektive. Om AN och BM möts vid K , och LK möter AB vid D , kallas D det harmoniska konjugatet av C med avseende på A , B.

Punkten D beror inte på vilken punkt L som tas initialt, inte heller på vilken linje genom C som används för att hitta M och N . Detta faktum följer av Desargues teorem .

I verklig projektiv geometri kan harmonisk konjugation också definieras i termer av korsförhållandet som ( A , B ; C , D ) = −1 .

Korsförhållandekriterium

De fyra punkterna kallas ibland ett harmoniskt område (på den verkliga projektiva linjen) eftersom det visar sig att D alltid delar segmentet AB internt i samma proportion som C delar AB externt . Det är:

$|AC|:|BC|=|AD|:|DB|\,.$

Om dessa segment nu är utrustade med den vanliga metriska tolkningen av reella tal kommer de att signeras och bilda en dubbel proportion som kallas korsförhållandet (ibland dubbelförhållande )

$(A,B;C,D)={\frac {|AC|}{|AD|}}\left/{\frac {|BC|}{-|DB|}}\right.,$

för vilket ett övertonsområde kännetecknas av värdet −1. Vi skriver därför:

$(A,B;C,D)={\frac {|AC|}{|AD|}}\cdot {\frac {|BD|}{|BC|}}=-1 .$

Värdet på ett korsförhållande är i allmänhet inte unikt , eftersom det beror på ordningen för urval av segment (och det finns sex sådana val möjliga). Men för ett övertonsområde i synnerhet finns det bara tre värden på korsförhållandet: {−1, 1/2, 2}, eftersom −1 är självinverst – så att utbyte av de två sista punkterna bara reciprokerar vart och ett av dessa värden men ger inga nytt värde, och är klassiskt känt som det harmoniska korsförhållandet .

I termer av ett dubbelförhållande, givet punkterna a och b på en affin linje, är divisionsförhållandet för en punkt x

$t(x)={\frac {xa}{xb}}.$

Observera att när a < x < b , så är t ( x ) negativ, och att den är positiv utanför intervallet. Korsförhållandet $(c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)} }$ är ett förhållande av divisionsförhållanden, eller ett dubbelförhållande. Att sätta dubbelförhållandet till minus ett betyder att när t ( c ) + t ( d ) = 0 , då är c ​​och d harmoniska konjugat med avseende på a och b . Så divisionskvotskriteriet är att de är additiva inverser .

Övertonsdelning av ett linjesegment är ett specialfall av Apollonius definition av cirkeln .

I vissa skolstudier kallas konfigurationen av ett övertonsområde övertonsdelning .

Av mittpunkten

Mittpunkt och oändlighet är harmoniska konjugat.

När x är mittpunkten av segmentet från a till b , då

$t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.$

Genom korsförhållandekriteriet kommer det harmoniska konjugatet av x att vara y när t ( y ) = 1 . Men det finns ingen ändlig lösning för y på linjen genom a och b . Ändå,

$\lim _{y\to \infty }t(y)=1,$

vilket motiverar införandet av en punkt i oändligheten i den projektiva linjen. Denna punkt vid oändligheten fungerar som det harmoniska konjugatet av mittpunkten x .

Från fullständig fyrkant

Ett annat tillvägagångssätt för det harmoniska konjugatet är genom konceptet med en komplett fyrkant, såsom KLMN i diagrammet ovan. Baserat på fyra punkter har hela fyrkanten par av motsatta sidor och diagonaler. I uttrycket av harmoniska konjugat av HSM Coxeter betraktas diagonalerna som ett par motsatta sidor:

D är det harmoniska konjugatet av C med avseende på A och B , vilket betyder att det finns en fyrkant IJKL så att ett par motsatta sidor skär varandra vid A och ett andra par vid B , medan det tredje paret möter AB vid C och D .

Det var Karl von Staudt som först använde det harmoniska konjugatet som grund för projektiv geometri oberoende av metriska överväganden:

...Staudt lyckades befria projektiv geometri från elementär geometri. I sin Geometrie der Lage introducerade Staudt en harmonisk fyrdubbling av element oberoende av begreppet korsförhållande efter en rent projektiv rutt, med hjälp av en fullständig fyrkant eller fyrhörning.

P3 Pi ₌ A , ₎ P2 = S , . ₌ = B , ₍ P4 = Q , D ignorera M grön M

För att se hela fyrkanten tillämpad för att erhålla mittpunkten, överväg följande passage från JW Young:

Om två godtyckliga linjer AQ, AS dras genom A och linjerna BS, BQ dras genom B parallellt med AQ respektive AS, möts linjerna AQ, SB per definition i en punkt R i oändligheten, medan AS, QB möts av definition i en punkt P vid oändligheten. Den kompletta fyrhörningen PQRS har då två diagonala punkter vid A och B , medan det återstående paret av motsatta sidor passerar genom M och punkten i oändligheten på AB . Punkten M är då genom konstruktion det harmoniska konjugatet av punkten i oändligheten på AB med avseende på A och B . Å andra sidan, att M är mittpunkten i segmentet AB följer av det välbekanta påståendet att diagonalerna i ett parallellogram ( PQRS ) delar varandra.

Kvartära relationer

Fyra ordnade punkter på ett projektivt område kallas harmoniska punkter när det finns ett tetrastigm i planet så att den första och den tredje är codot och de andra två punkterna är på kontakterna till den tredje codoten.

Om p är en punkt som inte är på en rak med harmoniska punkter, är sammanfogningarna av p med punkterna harmoniska raka punkter . På liknande sätt, om axeln för en penna av plan är sned till en rak med harmoniska punkter, är planen på punkterna harmoniska plan .

En uppsättning av fyra i en sådan relation har kallats en harmonisk fyrdubbling .

Projektiva koner

En kägel i det projektiva planet är en kurva C som har följande egenskap: Om P är en punkt som inte ligger på C , och om en variabel linje genom P möter C i punkterna A och B , så är den variabla harmoniska konjugaten av P m.b.t. A och B spårar ut en linje. Punkten P kallas polen för den linjen av harmoniska konjugat, och denna linje kallas P: s polära linje med avseende på den koniska. Se artikeln Pole and polar för mer information.

Inversiv geometri

Huvudartikel: Inversiv geometri

I fallet där kägeln är en cirkel, på cirkelns förlängda diametrar, är harmoniska konjugat med avseende på cirkeln inversa i en cirkel . Detta faktum följer av en av Smogorzhevskys satser:

Om cirklarna k och q är ömsesidigt ortogonala, så gör en rät linje som går genom mitten av k och skär q , det vid punkter som är symmetriska med avseende på k .

Det vill säga, om linjen är en förlängd diameter av k , så är skärningspunkterna med q harmoniska konjugat.

Galois tetrads

I Galois geometri över ett Galois-fält GF( q ) har en linje q + 1 punkter, där ∞ = (1,0) . På denna linje bildar fyra punkter en harmonisk tetrad när två harmoniskt separerar de andra. Skicket

$(c,d;a,b)=-1, \ {\text{ motsvarande }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),$

kännetecknar harmoniska tetrader. Uppmärksamhet på dessa tetrads ledde Jean Dieudonné till hans avgränsning av några tillfälliga isomorfismer av de projektiva linjära grupperna PGL(2, q ) för q = 5, 7, 9 .

Om q = 2 ⁿ , och givet A och B , så är den harmoniska konjugatet av C sig själv.

Itererade projektiva harmoniska konjugat och det gyllene snittet

Låt ₀ P , P ₁ , P ₂ vara tre olika punkter på den verkliga projektiva linjen. Betrakta den oändliga sekvensen av punkter P _n , där P _n är det harmoniska konjugatet av P _{n -3} med avseende på P _{n -1} , P _{n -2} för n > 2 . Denna sekvens är konvergent.

För en ändlig gräns P har vi

$\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1 }P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},$

där $\Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$ är det gyllene snittet , dvs $P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P$ för stort n . För en oändlig gräns vi har

$\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi = -\Phi ^{2}.$

För ett bevis överväga den projektiva isomorfismen

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

med

$f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.$

• Juan Carlos Alverez (2000) Projective Geometry , se kapitel 2: The Real Projective Plane, avsnitt 3: Harmonic quadruples och von Staudts teorem.
• Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry , länk från Cornell University Historical Math Monographs.
• Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics , sid 384.
• Russell, John Wellesley (1905). Ren geometri . Clarendon Press.