Hardy–Littlewood zeta-funktion gissningar

Inom matematik är Hardy–Littlewood zeta-funktionsförmodan , uppkallad efter Godfrey Harold Hardy och John Edensor Littlewood , två gissningar angående avstånden mellan nollor och tätheten av nollor i Riemanns zetafunktion .

Gissningar

År 1914 bevisade Godfrey Harold Hardy att Riemann zeta-funktionen $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ har oändligt mycket många riktiga nollor.

Låt $N(T)$ vara det totala antalet reella nollor, $N_{0}(T)$ vara det totala antalet nollor av udda ordning för funktionen ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} ,$ liggande på intervallet $(0,T ]$ .

Hardy och Littlewood hävdade två gissningar. Dessa gissningar – om avståndet mellan reella nollor av $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ och om densiteten av nollor av $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ på intervaller ${\ displaystyle (T,T+H]}$ för tillräckligt stor $T>0$ , $H=T^{a+\varepsilon }$ och med ett så mindre värde som möjligt $a>0$ , där $\varepsilon >0$ är ett godtyckligt litet tal – öppna två nya riktningar i undersökningen av Riemanns zeta-funktion.

1. För alla $\varepsilon >0$ finns det sådana $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ att för ${\ displaystyle T\geq T_{0}}$ och $H=T^{0.25+\varepsilon }$ intervallet $(T,T+H]$ innehåller en noll i udda ordning för funktionen $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ .

2. För alla $\varepsilon >0$ finns $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ och $c=c(\varepsilon )>0$ , så att för $T\geq T_{0}$ och $H=T^{0.5+\varepsilon }$ olikheten $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$ är sann.

Status

1942 studerade Atle Selberg problem 2 och bevisade att det för alla $\varepsilon >0$ finns sådana $T_{0}=T_{0}(\varepsilon ) >0$ och ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0} ,$ så att för $T\geq T_{0}$ och $H=T^{0.5+\varepsilon }$ olikheten $N(T+H)-N(T)\geq cH\ log T$ är sant.

I sin tur gjorde Selberg sin gissning att det är möjligt att minska värdet på exponenten $a=0,5$ för $H=T^{0,5+\varepsilon }$ som bevisades 42 år senare av AA Karatsuba .