Hann-funktion (vänster) och dess frekvenssvar (höger)
Hann -funktionen är uppkallad efter den österrikiske meteorologen Julius von Hann . Det är en fönsterfunktion som används för att utföra Hann-utjämning . Funktionen, med längden och amplituden ges av :
som är en sekvens av sampel, och kan vara jämna eller udda. (se § Hann och Hamming fönster ) Det är även känt som det upphöjda cosinusfönstret , Hann filter , von Hann fönstret , etc.
Överst: 16 exempel DFT-även Hann-fönster. Nederst: Dess diskreta-tids Fourier-transform (DTFT) och de 3 icke-nollvärdena för dess diskreta Fourier-transform (DFT).
Fouriertransformen med diskret tid (DTFT) av längd, tidsförskjuten sekvens definieras av en Fourier-serie, som också har en 3-term ekvivalent som härleds på samma sätt som Fouriertransformen härledning :
Den trunkerade sekvensen är ett DFT-jämnt (aka periodiskt ) Hann-fönster . Eftersom det trunkerade samplet har värdet noll, är det tydligt från Fourier-seriens definition att DTFT:erna är ekvivalenta. Men tillvägagångssättet ovan resulterar i ett markant annorlunda utseende, men ekvivalent, 3-terms uttryck :
En N-längds DFT för fönsterfunktionen samplar DTFT vid frekvenserna för heltalsvärden på Från uttrycket omedelbart ovan är det lätt att se att endast 3 av N DFT-koefficienterna är icke-noll. Och av det andra uttrycket är det uppenbart att alla är verkligt värderade. Dessa egenskaper är tilltalande för realtidsapplikationer som kräver både fönsterförsedda och icke-fönsterförsedda (rektangulärt fönsterförsedda) transformationer, eftersom de fönsterförsedda transformationerna effektivt kan härledas från icke-fönsterförsedda transformeringar genom faltning .
namn
Funktionen är uppkallad för att hedra von Hann, som använde tre-terms vägda medelutjämningsteknik på meteorologiska data. Men termen Hanning -funktion används också konventionellt, härledd från den tidning där termen hanning a signal användes för att betyda applicering av Hann-fönstret på den. Förvirringen uppstod från den liknande Hamming-funktionen , uppkallad efter Richard Hamming .
.svg){kind=spacer}
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b723018aa0923be6327c07fed4753f1ed7d033)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833f432fd5ae9ae88eb7ef4247952f92c7aef4ae)
![{\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1c0e1f3c303a9cac460a10ca4b6e00339befb1)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f2cccda229534d868deeaa79031fef7368df7)
