Hájek–Le Cam faltningssats

I statistik anger Hájek –Le Cam faltningssatsen att varje regelbunden skattare i en parametrisk modell är asymptotiskt ekvivalent med summan av två oberoende slumpvariabler, varav den ena är normal med asymptotisk varians lika med inversen av Fisher-information , och den andra har godtycklig fördelning.

Den uppenbara konsekvensen av detta teorem är att de "bästa" bland vanliga estimatorer är de med den andra komponenten identiskt lika med noll. Sådana estimatorer kallas effektiva och är kända för att alltid existera för vanliga parametriska modeller .

Teoremet är uppkallat efter Jaroslav Hájek och Lucien Le Cam .

Påstående

Låt ℘ = { P _θ | θ ∈ Θ ⊂ ℝ ^k } vara en vanlig parametrisk modell , och q ( θ ): Θ → ℝ ^m är en parameter i denna modell (typiskt är en parameter bara en av komponenterna i vektor θ ). Antag att funktionen q är differentierbar på Θ, med m × k -matrisen av derivator betecknad som q̇ _θ . Definiera

$I_{q(\theta )}^{-1}={\dot {q}}( \theta )I^{-1}(\theta ){\dot {q}}(\theta )'$ — informationen bunden till q ,

$\psi _{q(\theta )}={\dot {q}}(\theta)I^{-1}(\theta){\dot {\ell }}(\ theta )$ — den effektiva påverkansfunktionen för q ,

där I ( θ ) är Fishers informationsmatris för modell ℘, $\scriptstyle {\dot {\ell }}(\theta )$ är poängfunktionen och ′ betecknar matristransponering .

Teorem ( Bickel 1998 , Th.2.3.1). Antag att T _n är en enhetligt (lokalt) regelbunden estimator av parametern q . Sedan

1. Det finns oberoende slumpmässiga m -vektorer $\scriptstyle Z_{\theta }\,\sim \,{\mathcal {N}}(0,\,I_ {q(\theta )}^{-1})$ och Δ _θ så att

   ${\sqrt {n}}(T_{ n}-q(\theta ))\ {\xrightarrow {d}}\ Z_{\theta }+\Delta _{\theta },$

   där ^d anger konvergens i distribution . Närmare bestämt

   ${\begin{pmatrix}{\sqrt {n}}(T_{n}-q(\theta ))-{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1 }^{n}\psi _{q(\theta )}(x_{i})\\{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\summa _{i=1}^{n}\ psi _{q(\theta )}(x_{i})\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\begin{pmatrix}\Delta _{\theta }\\Z_{\theta } \end{pmatrix}}.$

2. Om kartan θ → q̇ _θ är kontinuerlig, så gäller konvergensen i (A) likformigt på kompakta delmängder av Θ. Dessutom, i det fallet Δ _θ = 0 för alla θ om och endast om T _n är enhetligt (lokalt) asymptotiskt linjär med influensfunktionen ψ _{q ( θ )}

•   Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner Jon A. (1998). Effektiv och adaptiv uppskattning för semiparametriska modeller . New York: Springer. ISBN 0-387-98473-9 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )