Parametrisk modell

Inom statistik är en parametrisk modell eller parametrisk familj eller finitdimensionell modell en särskild klass av statistiska modeller . Specifikt är en parametrisk modell en familj av sannolikhetsfördelningar som har ett ändligt antal parametrar.

Definition

En statistisk modell är en samling sannolikhetsfördelningar på något urvalsutrymme . Vi antar att samlingen, $𝒫$ , är indexerad av någon uppsättning $Θ$ . Uppsättningen $Θ$ kallas parameteruppsättningen eller, mer vanligt, parameterutrymmet . För varje $θ \in Θ$ , låt $P θ$ beteckna motsvarande medlem av samlingen; så $P θ$ är en kumulativ fördelningsfunktion . Då kan en statistisk modell skrivas som

{\mathcal {P}}={\big \{}P_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

Modellen är en parametrisk modell om $Θ \subseteq ℝ k$ för något positivt heltal $k$ .

När modellen består av absolut kontinuerliga fördelningar specificeras den ofta i termer av motsvarande sannolikhetstäthetsfunktioner :

{\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

Exempel

Poisson -familjen av distributioner parametriseras av ett enda tal $λ > 0$ :

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda } ,\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},

där $p λ$ är sannolikhetsmassfunktionen . Denna familj är en exponentiell familj .

( Normalfamiljen parametriseras med $= (μ, σ)$ , där $μ \in ℝ$ är en platsparameter och $σ > 0$ är en skalparameter:

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \ vänster(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.

Denna parametriserade familj är både en exponentiell familj och en familj i lägesskala .

Weibulls översättningsmodell har en tredimensionell parameter $θ = (λ, β, μ)$ :

\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.} Binomialmodellen

{\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda } }{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\

, parametriseras av $θ = (n, p)$ , där $n$ är ett icke-negativt heltal och $p$ är en sannolikhet (dvs $p \geq 0$ och $p \leq 1$ ):

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(nk)!}}\,p^{k} (1-p)^{nk},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\i \mathbb {Z} _{\geq 0},\, p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.

Detta exempel illustrerar definitionen av en modell med några diskreta parametrar.

Allmänna kommentarer

En parametrisk modell kallas identifierbar om avbildningen $θ \mapsto P θ$ är inverterbar, dvs det finns inte två olika parametervärden $θ 1$ och $θ 2$ så att $P θ 1 = P θ 2$ .

Jämförelser med andra klasser av modeller

Parametriska modeller kontrasteras mot de semi-parametriska , semi-icke-parametriska och icke-parametriska modellerna , som alla består av en oändlig uppsättning "parametrar" för beskrivning. Skillnaden mellan dessa fyra klasser är följande: ^{[ citat behövs ]}

i en " parametrisk " modell är alla parametrar i ändligdimensionella parameterutrymmen;
en modell är " icke-parametrisk " om alla parametrar finns i oändligt dimensionella parameterutrymmen;
en " semi-parametrisk " modell innehåller ändliga dimensionella parametrar av intresse och oändligt dimensionella störningsparametrar ;
en " semi-icke-parametrisk " modell har både ändligdimensionella och oändliga dimensionella okända parametrar av intresse.

Vissa statistiker tror att begreppen "parametrisk", "icke-parametrisk" och "semi-parametrisk" är tvetydiga. Det kan också noteras att uppsättningen av alla sannolikhetsmått har kardinalitet av kontinuum , och därför är det möjligt att parametrisera vilken modell som helst med ett enda tal i (0,1) intervall. Denna svårighet kan undvikas genom att endast överväga "släta" parametriska modeller.

Se även

Anteckningar

Bibliografi

Bickel, Peter J .; Doksum, Kjell A. (2001), Matematisk statistik: Grundläggande och valda ämnen , vol. 1 (Andra (uppdaterad tryckning 2007) utg.), Prentice-Hall
Bickel, Peter J .; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998), Effektiv och adaptiv skattning för semiparametriska modeller , Springer
Davison, AC (2003), Statistiska modeller , Cambridge University Press
Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Some basic concepts (2nd ed.), Springer
Lehmann, Erich L .; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (2:a upplagan), Springer
Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statistical Decision Theory: Estimation, testing and selection , Springer
Pfanzagl, Johann; med hjälp av R. Hamböker (1994), Parametric Statistical Theory , Walter de Gruyter , MR 1291393