Grundläggande inkrementlemma

differentialkalkyl med en variabel är det grundläggande inkrementslemma en omedelbar konsekvens av definitionen av derivatan f ' ( a ) av en funktion f i en punkt a :

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Lemma hävdar att existensen av denna derivata innebär att det finns en funktion $\varphi$ så att

$\lim _{h\to 0}\varphi (h) =0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h$

för tillräckligt liten men icke-noll h . För ett bevis räcker det att definiera

$\varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h }}-fa)$

och verifiera att $\varphi$ uppfyller kraven.

Differentieringsförmåga i högre dimensioner

I och med att förekomsten av $\varphi$ unikt karakteriserar talet $f'(a)$ , kan det fundamentala inkrementlemmat sägas karakterisera differentiabiliteten av envariabelfunktioner. Av denna anledning kan en generalisering av lemma användas i definitionen av differentiabilitet i multivariabel kalkyl . Antag särskilt att f mappar någon delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ till $\mathbb {R}$ . Då f vara differentierbar vid a om det finns en linjär funktion

$M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

och en funktion

$\Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf { 0} \},$

Så att

$\lim _{\mathbf {h} \to 0} \Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )=f(\mathbf {a} )+M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert$

0 för h som inte är noll tillräckligt nära . I det här fallet M den unika derivatan (eller totalderivatan , för att skilja från de riktade och partiella derivatorna ) av f vid a . Noterbart M ges av den jakobianska matrisen av f utvärderad till a .

Se även

• Generaliseringar av derivatan

• Talman, Louis (2007-09-12). "Differentieringsförmåga för multivariabla funktioner" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2010-06-20 . Hämtad 2012-06-28 .
•   Stewart, James (2008). Calculus (7:e upplagan). Cengage Learning. sid. 942. ISBN 978-0538498845 .