Grovkornig modellering

Grovkornig modellering , grovkorniga modeller , syftar till att simulera beteendet hos komplexa system med hjälp av deras grovkorniga (förenklade) representation. Grovkorniga modeller används i stor utsträckning för molekylär modellering av biomolekyler vid olika granularitetsnivåer .

Ett brett utbud av grovkorniga modeller har föreslagits. De är vanligtvis dedikerade till beräkningsmodellering av specifika molekyler: proteiner, nukleinsyror, lipidmembran, kolhydrater eller vatten. I dessa modeller representeras molekyler inte av individuella atomer, utan av "pseudoatomer" som approximerar grupper av atomer, såsom hela aminosyrarester . Genom att minska frihetsgraderna kan mycket längre simuleringstider studeras på bekostnad av molekylära detaljer. Grovkorniga modeller har funnit praktiska tillämpningar i simuleringar av molekylär dynamik . Ett annat fall av intresse är förenklingen av ett givet system för diskreta stater, eftersom beskrivningar av samma system på olika detaljnivåer mycket ofta är möjliga. Ett exempel ges av den kemomekaniska dynamiken hos en molekylär maskin, såsom Kinesin.

Den grovkorniga modelleringen kommer från arbete av Michael Levitt och Ariel Warshel på 1970-talet. Grovkorniga modeller används för närvarande ofta som komponenter i flerskaliga modelleringsprotokoll i kombination med rekonstruktionsverktyg (från grovkornig till atomistisk representation) och atomistisk upplösningsmodeller. Enbart atomistisk upplösningsmodeller är för närvarande inte tillräckligt effektiva för att hantera stora systemstorlekar och simuleringstider.

Grovkorning och finkorning inom statistisk mekanik tar upp ämnet för entropin $S$ , och därmed termodynamikens andra lag. Man måste inse att begreppet temperatur $T$ inte kan tillskrivas en godtyckligt mikroskopisk partikel eftersom denna inte strålar termiskt som en makroskopisk eller `` svart kropp ´´. Däremot kan man tillskriva en entropi ${\displaystyle S} som inte är noll$ till ett objekt med så få som två tillstånd som en `` bit ´´ (och inget annat). Entropierna i de två fallen kallas termisk entropi respektive von Neumann-entropi. De kännetecknas också av termerna grovkornig respektive finkornig. Denna sistnämnda distinktion är relaterad till aspekten som skrivs ovan och utvecklas nedan.

Liouville-satsen (ibland även kallad Liouville-ekvationen )

${\frac {d}{dt}}(\Delta q\Delta p)=0$

anger att en fasrymdsvolym $\Gamma$ (omspännd av $q$ och ${\displaystyle p} ,$ här i en rumslig dimension) förblir konstant under tiden, oavsett var punkten $q,p$ som ingår i $\Delta q\Delta p$ flyttas. Detta är ett övervägande inom klassisk mekanik. För att relatera denna syn till makroskopisk fysik omger man varje punkt $q,p$ t.ex. med en sfär med någon fast volym - en procedur som kallas grov kornighet som klumpar ihop punkter eller tillstånd av liknande beteende. Denna sfärs bana i fasrymden täcker då även andra punkter och följaktligen växer dess volym i fasrymden. Entropin $S$ som är associerad med denna övervägande, oavsett om den är noll eller inte, kallas grovkornig entropi eller termisk entropi. Ett stort antal sådana system, det vill säga det som övervägs tillsammans med många exemplar, kallas ensemble. Om dessa system inte interagerar med varandra eller något annat, och var och en har samma energi ${\displaystyle E} ,$ kallas ensemblen en mikrokanonisk ensemble. Varje repliksystem visas med samma sannolikhet och temperaturen kommer inte in.

Antag nu att vi definierar en sannolikhetstäthet $\rho (q_{i},p_{i},t)$ som beskriver rörelsen för punkten $q_{i},p_{i}$ med fasrumselement $\Delta q_{i}\Delta p_{i}$ . I fallet med jämvikt eller stadig rörelse innebär kontinuitetsekvationen att sannolikhetstätheten $\rho$ är oberoende av tiden $t$ . Vi tar $\rho _{i}=\rho (q_{i},p_{i})$ som icke-noll endast inuti fasrumsvolymen $V_{\Gamma }$ . Man definierar sedan entropin $S$ med relationen

$S=-\Sigma _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i},\;\;$ där $\;\;\Sigma _{i}\rho _{i}=1.$

Sedan, genom att maximera för en given energi $E$ , dvs länka $\delta S=0$ med $\delta$ av den andra summan lika med noll via en lagrangemultiplikator ${ \displaystyle \lambda }$ , man får (som i fallet med ett gitter av snurr eller med en bit vid varje gitterpunkt)

${\displaystyle V_{\Gamma }=e^{(\lambda +1)}={\frac {1}{\rho }}} {\$$displaystyle \;\ ;\;}$ och $\;\;\;$$S=\ln V_{\Gamma }$ ,

volymen av $\Gamma$ är proportionell mot exponentialen för S. Detta är återigen ett övervägande inom klassisk mekanik.

Inom kvantmekaniken blir fasrummet ett tillståndsrum, och sannolikhetstätheten $\rho$ en operator med ett delrum av tillstånden $\Gamma$ av dimension eller antal tillstånd $N_{ \Gamma }$ specificerad av en projektionsoperator $P_{\Gamma }$ . Då är entropin $S$ (erhålls enligt ovan)

$S=-Tr\rho \ln \rho =\ln N_{\Gamma },$

och beskrivs som finkornig eller von Neumann-entropi. Om $N_{\Gamma }=1$ försvinner entropin och systemet sägs vara i ett rent tillstånd. Här är exponentialen för S proportionell mot antalet tillstånd. Den mikrokanoniska ensemblen är återigen ett stort antal icke-interagerande kopior av det givna systemet och $S$ , energi $E$ etc. blir ensemblemedelvärden.

Betrakta nu interaktionen av ett givet system med ett annat - eller i ensembleterminologi - det givna systemet och det stora antalet repliker som alla är nedsänkta i ett stort som kallas ett värmebad kännetecknat av ρ {\displaystyle \ $}$ . Eftersom systemen samverkar endast via värmebadet kan ensemblens individuella system ha olika energier $E_{i},E_{j},...$ beroende på vilket energitillstånd $E_{i},E_{j},...$ de befinner sig i. Denna interaktion beskrivs som entanglement och ensemblen som kanonisk ensemble (den makrokanoniska ensemblen tillåter även utbyte av partiklar).

Samspelet mellan ensembleelementen via värmebadet leder till temperatur $T$ , som vi nu visar. Med tanke på två element med energierna $E_{i},E_{j}$ är sannolikheten att hitta dessa i värmebadet proportionell mot $\ rho (E_{i})\rho (E_{j})$ , och detta är proportionellt mot $\rho (E_{i}+E_{j})$ om vi betraktar det binära systemet som ett system i samma värmebad definierat av funktionen $\rho$ . Det följer att $\rho (E)\propto e^{-\mu E}$ (det enda sättet att uppfylla proportionaliteten), där $\mu$ är en konstant. Normalisering innebär då

$\rho (E_{i})={\frac {e^{-\ mu E_{i}}}{\Sigma _{j}e^{-\mu E_{j}}}},\Sigma _{i}\rho (E_{i})=1.$

Då när det gäller ensemblemedelvärden

${\displaystyle {\overline {S}}=-{\overline {\ln \rho }}} ,$ och $\mu \equiv {\frac {1}{T}},\;k_{B}=1,$

eller genom jämförelse med termodynamikens andra lag. ${\overline {S}}$ är nu entanglement-entropin eller finkornig von Neumann-entropin. Detta är noll om systemet är i ett rent tillstånd, och är icke-noll när det är i ett blandat (trasslat) tillstånd.

Ovan övervägde vi ett system nedsänkt i ett annat stort som kallas värmebad med möjlighet att tillåta värmeväxling mellan dem. Ofta överväger man en annan situation, dvs två system A och B med ett litet hål i mellanväggen. Antag att B ursprungligen är tom men A innehåller en explosiv anordning som fyller A omedelbart med fotoner. Ursprungligen har A och B energierna $E_{A}$ respektive ${\displaystyle E_{B}},$ och det finns ingen interaktion. Därför är båda ursprungligen i rena kvanttillstånd och har noll finkorniga entropier. Omedelbart efter explosionen fylls A med fotoner, varvid energin fortfarande är $E_{A}$ och energin för B också $E_{B}$ (ingen foton har ännu försvunnit). Eftersom A är fylld med fotoner, följer dessa en Planck-fördelningslag och därför är den grovkorniga termiska entropin för A icke-noll (kom ihåg: många konfigurationer av fotonerna i A, många tillstånd med en maximal), även om den finkorniga kvantmekaniska entropin är fortfarande noll (samma energitillstånd), som även det för B. Låt nu fotoner läcka långsamt (dvs utan störningar av jämvikten) från A till B. Med färre fotoner i A minskar dess grovkorniga entropi men den för B ökar. Denna intrassling av A och B antyder att de nu är kvantmekaniskt i blandade tillstånd, och därför är deras finkorniga entropier inte längre noll. Slutligen när alla fotoner är i B försvinner den grovkorniga entropin av A såväl som dess finkorniga entropi och A är återigen i ett rent tillstånd men med ny energi. Å andra sidan har B nu en ökad termisk entropi, men eftersom intrasslingen är över är den kvantmekaniskt igen i ett rent tillstånd, dess grundtillstånd, och det har noll finkornig von Neumann-entropi. Tänk på B: Under loppet av entanglementet med A startade och slutade dess finkorniga eller entanglemententropi i rena tillstånd (alltså med noll entropier). Dess grovkorniga entropi steg emellertid från noll till dess slutliga icke-nollvärde. Ungefär halvvägs genom proceduren når intrasslingsentropin för B ett maximum och minskar sedan till noll i slutet.

Den klassiska grovkorniga termiska entropin i termodynamikens andra lag är inte densamma som den (för det mesta mindre) kvantmekaniska finkorniga entropin. Skillnaden kallas information . Som kan utläsas av de föregående argumenten är denna skillnad ungefär noll innan intrasslingsentropin (som är densamma för A och B) når sitt maximum. Ett exempel på grov ådring tillhandahålls av Brownsk rörelse .

Programvarupaket

• Storskalig Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator ( LAMMPS )
• Extensible Simulation Package for Research on Soft Matter ESPResSo (extern länk)