Gram–Eulers sats

Inom geometri är Gram -Euler-satsen , Gram-Sommerville, Brianchon-Gram eller Gram-relationen (uppkallad efter Jørgen Pedersen Gram , Leonhard Euler , Duncan Sommerville och Charles Julien Brianchon ) en generalisering av polygonernas inre vinkelsummaformel till högre dimensionella polytoper . Ekvationen begränsar summan av de inre vinklarna av en polytop på ett sätt som är analogt med Euler-relationen på antalet d-dimensionella ytor .

Påstående

Låt $P$ vara en $n$ -dimensionell konvex polytop . För varje k - yta $F$ , med $k=\dim(F)$ dess dimension (0 för hörn, 1 för kanter, 2 för ytor, etc., uppåt till n för P själv), definieras dess inre (högre dimensionella) rymdvinkel ${\displaystyle \angle (F)} genom att välja en tillräckligt liten$$(n-1)$ - sfär centrerad vid någon punkt i det inre av $F$ och hitta den yta som finns inuti $P$ . Sedan säger Gram–Eulers sats:

$$\sum _{F\subset P}(-1)^{\dim F}\angle (F)=0$$

I icke-euklidisk geometri med konstant krökning (dvs sfärisk , $\epsilon =1$ , och hyperbolisk , $\epsilon =-1$ , geometri) får relationen en volymterm, men bara om dimensionen n är jämn:

$$\sum _{F\subset P}(-1) ^{\dim F}\angle (F)=\epsilon ^{n/2}(1+(-1)^{n})\operatörsnamn {Vol} (P)$$

Här är $\operatorname {Vol} (P)$ den normaliserade (hyper)volymen av polytopen (dvs. bråkdelen av det n -dimensionella sfäriska eller hyperboliska rummet); vinklarna $\angle (F)$ måste också uttryckas som bråkdelar (av ( n -1)-sfären).

När polytopen är enkel gäller ytterligare vinkelbegränsningar som kallas Perles-relationer , analogt med Dehn-Sommervilles ekvationer för antalet ytor.

Exempel

För en tvådimensionell polygon expanderar satsen till:

$$\sum _{v}\alpha _{v}-\summa _{e}\pi +2\pi =0$$

där den första termen $A=\textstyle \sum \alpha _{v}$ är summan av de inre vertexvinklarna, den andra summan är över kanterna, som var och en har en inre vinkel ${ \displaystyle \pi }$ , och den sista termen motsvarar hela polygonen, som har en full inre vinkel $2\pi$ . För en polygon med $n$ ytor, säger satsen oss att ${\displaystyle A-\pi n+2\pi =0} ,$ eller motsvarande, $A=\pi (n-2)$ . För en polygon på en sfär ger relationen den sfäriska ytarean eller rymdvinkeln som det sfäriska överskottet : $\Omega =A-\pi (n-2)$ .

För en tredimensionell polyeder lyder satsen:

$$\sum _{v}\Omega _{v}-2\sum _{e}\theta _{e}+\ summa _{f}2\pi -4\pi =0$$

där $\Omega _{v}$ är rymdvinkeln vid en vertex, $\theta _{e}$ den dihedrala vinkeln vid en kant (den rymda vinkeln för motsvarande luna är dubbelt så stor som stor), den tredje summan räknar ytorna (var och en med en inre halvklotsvinkel på $2\pi$ ) och den sista termen är den inre rymda vinkeln (hel sfär eller $4\pi$ ) .

Historia

Den n-dimensionella relationen bevisades först av Sommerville , Heckman och Grünbaum för det sfäriska, hyperboliska respektive euklidiska fallet.

Se även

• Euler-karaktär
• Dehn-Sommervilles ekvationer
• Vinkeldefekt
• Gauss-Bonnet teorem