Gossardperspektör

Inom geometrin är Gossard -perspektören (även kallad Zeeman-Gossard-perspektören ) en speciell punkt associerad med en plan triangel . Det är ett triangelcentrum och det är betecknat som X(402) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers . Punkten fick namnet Gossard perspector av John Conway 1998 för att hedra Harry Clinton Gossard som upptäckte dess existens 1916. Senare fick man veta att punkten hade dykt upp i en artikel av Christopher Zeeman publicerad under 1899 – 1902. Från 2003 och framåt Encyclopedia of Triangle Centers har hänvisat till denna punkt som Zeeman-Gossard-perspektör .

Definition

H , H _A , H _B , H _C , Hg _ABC är ortocenter och G , G _A , GB _trianglarna , G _C , G _g är tyngdpunkter av , AEF , BFD , CDE , A g _B g _C g _respektive .

Gossard triangel

Låt ABC vara vilken triangel som helst. Låt Eulerlinjen i triangeln ABC möta sidlinjerna BC , CA och AB i triangeln ABC vid D , E respektive F. Låt A _g B _g C _g vara triangeln som bildas av Eulerlinjerna i trianglarna AEF , BFD och CDE , där spetsen A _g är skärningspunkten mellan Eulerlinjerna i trianglarna BFD och CDE , och på liknande sätt för de andra två hörnen. Triangeln A _g B _g C _g kallas gossardtriangeln av triangeln ABC .

Gossardperspektör

Låt ABC vara vilken triangel som helst och låt A _g B _g C _g vara dess Gossardtriangel. CCg _Då är linjerna AAg _, BBg _samtidiga och . Punkten för samstämmighet kallas Gossard-perspektören för triangeln ABC .

Egenskaper

Låt A _g B _g C _g vara gossardtriangeln i triangeln ABC . Linjerna B _g C _g , C _g A _g och A _g B _g är parallella med linjerna BC , CA och AB .
Varje triangel och dess Gossardtriangel är kongruenta.
Varje triangel och dess Gossardtriangel har samma Euler-linje.
Gossardtriangeln av triangeln ABC är reflektionen av triangeln ABC i Gossardperspektören.

Trilinjära koordinater

De trilinjära koordinaterna för Gossard-perspektören av triangeln ABC är

( f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) )

var

f ( a , b , c ) = p ( a , b , c ) y ( a , b , c ) / a

var

p ( a , b , c ) = 2 a ⁴ − a ² b ² − a ² c ² − ( b ² − c ² ) ²

och

y ( a , b , c ) = a ⁸ − a ⁶ ( b ² + c ² ) + a ⁴ ( 2 b ² − c ² ) ( 2 c ² − b ² ) + ( b ² − c ² ) ² [ 3 a ² ( b ² + c ² ) − b ⁴ − c ⁴ − 3 b ² c ² ]

I figuren är DEF Eulerlinjen i triangeln ABC . Linjen XYZ rör sig parallellt med linjen DEF . Triangeln A'B'C' förblir kongruent med triangeln ABC oavsett positionen för linjen XYZ . Den blå "inverterade" triangeln är Gossardtriangeln av triangeln ABC .

Generaliseringar

Konstruktionen som ger gossardtriangeln i en triangel ABC kan generaliseras för att producera trianglar A'B'C' som är kongruenta med triangeln ABC och vars sidlinjer är parallella med sidlinjerna i triangeln ABC .

Generalisering 1

Detta resultat beror på Christopher Zeeman.

Låt l vara vilken linje som helst parallell med Eulerlinjen i triangeln ABC . Låt l skära sidolinjerna BC , CA , AB för triangeln ABC vid X , Y , Z respektive. Låt A'B'C' vara den triangel som bildas av Eulerlinjerna i trianglarna AYZ , BZX och CXY . Då är triangeln A'B'C' kongruent med triangeln ABC och dess sidlinjer är parallella med sidlinjerna i triangeln ABC .

Generalisering 2

Paul Yius generalisering av Gossardtriangeln.

Denna generalisering beror på Paul Yiu.

Låt P vara vilken punkt som helst i triangelns plan ABC som skiljer sig från dess tyngdpunkt G .

Låt linjen PG möta sidlinjerna BC , CA och AB vid X , Y respektive Z.

Låt tyngdpunkterna för trianglarna AYZ , BZX och CXY vara G _a , G _b respektive G _c .

Låt P _a vara en punkt så att YP _a är parallell med CP och ZP _a är parallell med BP .

Låt P _b vara en punkt så att ZP _b är parallell med AP och XP _b är parallell med CP .

Låt P _c vara en punkt så att XP _c är parallell med BP och YP _c är parallell med AP .

Låt A'B'C' vara triangeln som bildas av linjerna G _a P _a , G _b P _b och G _c P _c .

Då är triangeln A'B'C' kongruent med triangeln ABC och dess sidor är parallella med sidorna av triangeln ABC .

När P sammanfaller med ortocentrum H i triangeln ABC så sammanfaller linjen PG med Eulerlinjen i triangeln ABC . Triangeln A'B'C' sammanfaller med gossardtriangeln A _g B _g C _g i triangeln ABC .

Generalisering 3

Låt ABC vara en triangel. Låt H och O vara två punkter och låt linjen HO möter BC, CA, AB vid ₀₀ A , B , C ₀ respektive. Låt A _H och A _O vara två punkter så att ₀ C A _H parallell med BH , ₀ B A _H parallell med CH och ₀ C A _O parallell med BO , ₀ B A _O parallell med CO . Definiera B _H , B _O , CH _,_CO cykliskt . Då är triangeln som bildas A _H A _O , B _H B _O , CH _C O _av linjerna och triangeln ABC homotetiska och kongruenta, och det homotetiska centrumet ligger på linjen OH . Om OH är någon linje genom tyngdpunkten i triangeln ABC , är detta problem Yius generalisering av Gossard-perspektivsatsen.