Goormagighth gissning

Inom matematik är Goormaghtigh -förmodan en gissning i talteorin uppkallad efter den belgiske matematikern René Goormaghtigh . Gissningen är att de enda icke-triviala heltalslösningarna i den exponentiella diofantiska ekvationen

${\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{ y-1}}$

som uppfyller $x>y>1$ och $n,m>2$ är

${\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1 }{2-1}}=31$

och

${\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}- 1}{2-1}}=8191.$

Delvis resultat

Davenport, Lewis & Schinzel (1961) visade att för varje par av fixerade exponenter $m$ och $n$ har denna ekvation bara ändligt många lösningar. Men detta bevis beror på Siegels ändlighetsteorem, som är ineffektivt. Nesterenko & Shorey (1998) visade att om $m-1=dr$ och $n-1=ds$ med $d\ geq 2$ , $r\geq 1$ , och $s\geq 1$ , sedan $\max(x,y, m,n)$ begränsas av en effektivt beräkningsbar konstant som endast beror på $r$ och $s$ . Yuan (2005) visade att för $m=3$ och udda $n$ har denna ekvation ingen lösning $(x,y,n)$ annat än de två lösningarna ovan.

Balasubramanian och Shorey bevisade 1980 att det bara finns ändligt många möjliga lösningar $(x,y,m,n)$ till ekvationerna med primtalsdelare av $x$ och $y$ som ligger i en given finit mängd och att de kan beräknas effektivt. He & Togbé (2008) visade att för varje fixerad $x$ och $y$ har denna ekvation högst en lösning. För fixerad x (eller y ) har ekvationen högst 15 lösningar och högst två om inte x är antingen udda primpotens gånger en potens av två , eller i den finita mängden {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, i vilket fall det finns högst tre lösningar. Dessutom finns det högst en lösning om den udda delen av n är kvadratisk om inte n har högst två distinkta udda primtalsfaktorer eller n är i en finit mängd {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 205, 29 5, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}.

Ansökan om återköp

Goormaghtigh-förmodan kan uttryckas som att 31 (111 i bas 5, 11111 i bas 2) och 8191 (111 i bas 90, 11111111111111 i bas 2) är de enda två talen som är återenheter med minst 3 siffror i två olika baser.

Se även

• Feit-Thompson gissningar

• Goormagightigh, Rene. L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y.; Shorey, TN (2002). "På den diofantina ekvationen ${\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n }-1}{y-1}}$ " (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 207 (1): 61–75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
•    Balasubramanian, R .; Shorey, TN (1980). "På ekvationen $a(x^{m}-1)/(x-1) =b(y^{n}-1)/(y-1)$ " . Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 10.7146/math.scand.a-11861 . MR 0591599 . Zbl 0434.10013 .
•   Davenport, H.; Lewis, DJ; Schinzel, A. (1961). "Ekvationer av formen $f(x)=g(y)$ ". Quad. J. Math. Oxford . 2 : 304-312. doi : 10.1093/qmath/12.1.304 . MR 0137703 .
•    Guy, Richard K. (2004). Olösta problem i talteori (3:e upplagan). Springer-Verlag . sid. 242. ISBN 0-387-20860-7 . Zbl 1058.11001 .
•   Han, Bo; Togbé, Alan (2008). "På antalet lösningar av Goormaghtighs ekvation för givna $x$ och $y$ " . Indag. Matematik . Ny serie. 19 : 65–72. doi : 10.1016/S0019-3577(08)80015-8 . MR 2466394 .
•    Nesterenko, Yu. V .; Shorey, TN (1998). "På en ekvation av Goormaghtigh" (PDF) . Acta Arithmetica . LXXXIII (4): 381–389. doi : 10.4064/aa-83-4-381-389 . MR 1610565 . Zbl 0896.11010 .
•    Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Exponentiella diofantiska ekvationer . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . s. 203–204. ISBN 0-521-26826-5 . Zbl 0606.10011 .
•   Yuan, Pingzhi (2005). "På den diofantina ekvationen ${\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n }-1}{y-1}}$ " . J. Talteori . 112 : 20–25. doi : 10.1016/j.jnt.2004.12.002 . MR 2131139 .