Generaliserad aritmetisk progression

I matematik är en generaliserad aritmetisk progression (eller multipel aritmetisk progression ) en generalisering av en aritmetisk progression utrustad med flera gemensamma skillnader – medan en aritmetisk progression genereras av en enda gemensam skillnad, en generaliserad aritmetisk progression kan genereras av flera gemensamma skillnader. Till exempel är sekvensen $17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots$ inte en aritmetisk progression, men genereras istället genom att börja med 17 och lägga till antingen 3 eller 5, vilket gör att flera gemensamma skillnader kan generera den. En semilinjär uppsättning generaliserar denna idé till flera dimensioner -- det är en uppsättning vektorer av heltal, snarare än en uppsättning heltal.

Finit generaliserad aritmetisk progression

En finit generaliserad aritmetisk progression , eller ibland bara generaliserad aritmetisk progression (GAP), av dimensionen d definieras som en uppsättning av formen

$\{x_{0}+l_{1}x_{1}+ \cdots +l_{d}x_{d}:0\leq l_{1}<L_{1},\ldots ,0\leq l_{d}<L_{d}\}$

där $x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_ {d}\in \mathbb {Z}$ . Produkten $L_{1}L_{2}\cdots L_{d}$ kallas storleken på den generaliserade aritmetiska progressionen; uppsättningens kardinalitet kan skilja sig från storleken om vissa element i uppsättningen har flera representationer . Om kardinaliteten är lika med storleken kallas progressionen korrekt . Generaliserade aritmetiska progressioner kan ses som en projektion av ett högre dimensionellt rutnät i $\mathbb {Z}$ . Denna projektion är injektiv om och endast om den generaliserade aritmetiska progressionen är korrekt.

Semilinjära set

Formellt är en aritmetisk progression av $\mathbb {N} ^{d}$ en oändlig följd av formen ${\ displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$ , där $\mathbf {v}$ och $\mathbf {v} '$ är fasta vektorer i $\mathbb {N} ^{d}$ , kallad initialvektor och gemensam skillnad respektive. En delmängd av $\mathbb {N} ^{d}$ sägs vara linjär om den har formen

$\left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_ {i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},$

där $m$ är något heltal och $\mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m }$ är fasta vektorer i $\mathbb {N} ^{d}$ . En delmängd av $\mathbb {N} ^{d}$ sägs vara halvlinjär om den är en finit union av linjära mängder.

De semilinjära mängderna är exakt de mängder som kan definieras i Presburger aritmetik .

Se även

• Freimans teorem

•    Nathanson, Melvyn B. (1996). Additiv talteori: omvända problem och geometri för summamängder . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1 . Zbl 0859.11003 .