Fyrkantig våg

Den här artikeln handlar om vågformen. För typen av havsytans våg, se Cross sea .

Fyrkantsvåg
Sinus- , kvadrat-, triangel- och sågtandsvågformer
Allmän information
Allmän definition	$x(t)=4\left\lfloor t\right\rfloor -2\left\lfloor 2t\right\ rfloor +1,2t\notin \mathbb {Z}$
Användningsområden	Elektronik, syntar
Domän, Kodomän och Bild
Domän	$\mathbb {R} \setminus \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z}$
Kodomän	$\left\{-1,1\right\}$
Grundläggande funktioner
Paritet	Udda
Period	1
Antiderivat	Triangelvåg
Fourier-serier	$x(t)={\frac {4}{\pi }}\ summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)$

En fyrkantsvåg är en icke-sinusformad periodisk vågform där amplituden växlar med en jämn frekvens mellan fasta minimi- och maximivärden, med samma varaktighet vid minimum och maximum. I en ideal fyrkantsvåg är övergångarna mellan minimum och maximum momentana.

Fyrkantvågen är ett specialfall av en pulsvåg som tillåter godtyckliga varaktigheter vid minsta och maximala amplituder. Förhållandet mellan den höga perioden och den totala perioden för en pulsvåg kallas arbetscykeln . En äkta fyrkantvåg har en 50% arbetscykel (lika höga och låga perioder).

Fyrkantsvågor påträffas ofta i elektronik och signalbehandling , särskilt digital elektronik och digital signalbehandling . Dess stokastiska motsvarighet är en tvåtillståndsbana .

Ursprung och användningsområden

Fyrkantsvågor påträffas universellt i digitala omkopplingskretsar och genereras naturligt av binära (två-nivå) logiska enheter. Fyrkantsvågor genereras vanligtvis av metall-oxid-halvledarfälteffekttransistor -enheter (MOSFET) på grund av deras snabba på-/av elektroniska kopplingsbeteende , i motsats till bipolära övergångstransistorer (BJT) som långsamt genererar signaler som mer liknar sinusvågor snarare än fyrkantsvågor.

Fyrkantsvågor används som tidsreferenser eller " klocksignaler ", eftersom deras snabba övergångar är lämpliga för att trigga synkrona logiska kretsar med exakt bestämda intervall. Men som frekvensdomängrafen visar innehåller fyrkantsvågor ett brett spektrum av övertoner; dessa kan generera elektromagnetisk strålning eller strömpulser som stör andra närliggande kretsar och orsaka brus eller fel. För att undvika detta problem i mycket känsliga kretsar som precisionsanalog -till-digitalomvandlare , används sinusvågor istället för fyrkantvågor som tidsreferenser.

I musikaliska termer beskrivs de ofta som att de låter ihåliga och används därför som grund för blåsinstrumentljud skapade med hjälp av subtraktiv syntes . Dessutom klipper distorsionseffekten som används på elektriska gitarrer de yttersta delarna av vågformen, vilket gör att den alltmer liknar en fyrkantvåg när mer distorsion appliceras.

Rademacher-funktioner på två nivåer är fyrkantsvågor.

Definitioner

Fyrkantvågen i matematik har många definitioner, som är likvärdiga förutom vid diskontinuiteterna:

Det kan helt enkelt definieras som teckenfunktionen för en sinusoid:

$${\begin{aligned}x(t)&=\operatörsnamn {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatörsnamn {sgn} (\sin 2\pi ft)\\v(t)&=\operatörsnamn {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatörsnamn {sgn}(\ cos 2\pi ft),\end{aligned}}$$

vilket blir 1 när sinusformen är positiv, −1 när sinusformen är negativ och 0 vid diskontinuiteterna. Här är T perioden för fyrkantvågen och f dess frekvens, som är relaterade med ekvationen f = 1/ T .

En fyrkantsvåg kan också definieras med avseende på Heaviside-stegfunktionen u ( t ) eller den rektangulära funktionen Π( t ):

$${\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left( {\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\summa _{n=-\infty }^ {\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1} {2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}$$

En fyrkantsvåg kan också genereras direkt med golvfunktionen :

$$x(t)=2\left(2\lfloor ft\rfloor -\lfloor 2ft\rfloor \right)+1$$

och indirekt:

$$x(t)=\left(-1\right)^{\lfloor 2ft\rfloor }.$$

Med hjälp av fourierserien (nedan) kan man visa att golvfunktionen kan skrivas i trigonometrisk form

$${\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)+{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {\pi ft }{2}}\right)\right)$$

Fourieranalys

De sex pilarna representerar de första sex termerna i Fourierserien av en fyrkantvåg. De två cirklarna längst ner representerar den exakta fyrkantvågen (blå) och dess approximation av Fourier-serien (lila).

(udda) övertoner av en 1000 Hz fyrkantsvåg

Graf som visar de tre första termerna i Fourier-serien av en fyrkantvåg

Genom att använda Fourierexpansion med cykelfrekvens f över tiden t , kan en ideal fyrkantsvåg med en amplitud på 1 representeras som en oändlig summa av sinusformade vågor:

$${\begin{aligned}x(t)&={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\ pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{ 3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{där }}\omega =2\ pi f.\end{aligned}}$$

Den ideala fyrkantvågen innehåller endast komponenter av udda-heltals harmoniska frekvenser (av formen 2π(2 k − 1) f ). Sågtandsvågor och verkliga signaler innehåller alla heltalsövertoner.

En kuriosa av konvergensen av Fourier-seriens representation av fyrkantvågen är Gibbs-fenomenet . Ringartefakter i icke-idealiska fyrkantsvågor kan visas vara relaterade till detta fenomen. Gibbs-fenomenet kan förhindras genom att använda σ-approximation , som använder Lanczos sigma-faktorer för att hjälpa sekvensen att konvergera smidigare.

En idealisk matematisk fyrkantsvåg växlar mellan det höga och det låga tillståndet omedelbart och utan under- eller överskjutning. Detta är omöjligt att uppnå i fysiska system, eftersom det skulle kräva oändlig bandbredd .

Animation av den additiva syntesen av en fyrkantvåg med ett ökande antal övertoner

Fyrkantsvågor i fysiska system har endast ändlig bandbredd och uppvisar ofta ringeffekter som liknar Gibbs-fenomenet eller krusningseffekter som liknar σ-approximationen.

För en rimlig approximation till fyrkantvågsformen måste åtminstone grundtonen och den tredje övertonen vara närvarande, varvid den femte övertonen är önskvärd. Dessa bandbreddskrav är viktiga inom digital elektronik, där analoga approximationer med ändlig bandbredd till fyrkantsvågliknande vågformer används. (Ringtransienterna är ett viktigt elektroniskt övervägande här, eftersom de kan gå utöver de elektriska gränsvärdena för en krets eller orsaka att en dåligt placerad tröskel passeras flera gånger.)

Egenskaper för ofullkomliga fyrkantsvågor

Som redan nämnts har en ideal fyrkantsvåg momentana övergångar mellan de höga och låga nivåerna. I praktiken uppnås detta aldrig på grund av fysiska begränsningar hos systemet som genererar vågformen. från den låga nivån till den höga nivån och tillbaka igen kallas för stigtid respektive falltid .

Om systemet är överdämpat kan det hända att vågformen aldrig faktiskt når de teoretiska höga och låga nivåerna, och om systemet är underdämpat kommer det att svänga runt de höga och låga nivåerna innan det sätter sig. I dessa fall mäts stig- och falltiderna mellan specificerade mellannivåer, såsom 5 % och 95 %, eller 10 % och 90 %. Bandbredden för ett system är relaterad till övergångstiderna för vågformen ; det finns formler som gör att den ena kan bestämmas ungefär från den andra.

Se även

• Lista över periodiska funktioner
• Rektangulär funktion
• Pulsvåg
• Sinusvåg
• Triangelvåg
• Sågtandsvåg
• Vågform
• Ljud
• Multivibrator
• Ronchi ruling , ett mål med kvadratiska vågor som används vid bildbehandling.
• Korsa havet
• Klarinett , ett musikinstrument som producerar udda övertoner som närmar sig en fyrkantsvåg.

externa länkar

• Fourierupplösning av en fyrkantsvåg Interaktiv demo av fyrkantvågsyntes med sinusvågor, från GeoGebra-webbplatsen.
• Square Wave Approximated by Sines Interaktiv demo av fyrkantsvågsyntes med sinusvågor.
• Flash applets Square wave.