Fugledes gissning

Fugledes gissning är ett slutet problem i matematik som föreslagits av Bent Fuglede 1974. Den anger att varje domän av $\mathbb {R} ^{d}$ (dvs. delmängd av $\mathbb {R} ^{d}$ med positivt ändligt Lebesgue-mått ) är en spektralmängd om och endast om den delar $\mathbb {R} ^{d}$ genom översättning .

Spektraluppsättningar och translationella brickor

Spektralmängder i $\mathbb {R} ^{d}$

En mängd $\Omega$$\subset$$\mathbb {R} ^{d}$ med positivt ändligt Lebesgue-mått sägs vara en spektralmängd om det finns en ${\ displaystyle \Lambda }$$\subset$$\mathbb {R} ^{d}$ så att ${\displaystyle \left\{e ^{2\pi i\left\langle \lambda ,\cdot \right\rangle }\right\}_{\lambda \in \Lambda }} är en ortogonal$ bas av L $\displaystyle L^{ 2}(\Omega )}$ . Mängden $\Lambda$ sägs då vara ett spektrum av $\Omega$ och $(\Omega ,\Lambda )$ kallas ett spektralpar.

Translationella brickor av $\mathbb {R} ^{d}$

En mängd $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ sägs belägga $\mathbb {R} ^{d}$ genom översättning (dvs. $\Omega$ är en translationsbricka) om det finns en diskret uppsättning $\mathrm {T}$ så att $\bigcup _{t\in \mathrm {T} }(\Omega +t)=\mathbb {R} ^{d}$ och Lebesgue-måttet på $(\Omega +t)\cap ( \Omega +t')$ är noll för alla $t\neq t'$ i $\mathrm {T}$ .

Delvis resultat

• Fuglede bevisade 1974 att gissningen gäller om $\Omega$ är en grundläggande domän av ett gitter .
• 2003 bevisade Alex Iosevich, Nets Katz och Terence Tao att gissningarna gäller om $\Omega$ är en konvex plan domän.
• 2004 visade Terence Tao att gissningen är falsk på $\mathbb {R} ^{d}$ för $d\geq 5$ . Det visades senare av Bálint Farkas, Mihail N. Kolounzakis, Máté Matolcsi och Péter Móra att gissningen också är falsk för $d=3$ och $4$ . Förmodan förblir dock okänd för $d=1,2$ .
• Alex Iosevich, Azita Mayeli och Jonathan Pakianathan visade att gissningen gäller ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}} ,$ där $\mathbb {Z} _{p}$ är den cykliska gruppen av ordningen p.
• 2017 bevisade Rachel Greenfeld och Nir Lev gissningen för konvexa polytoper i $\mathbb {R} ^{3}$ .
• 2019 avgjorde Nir Lev och Máté Matolcsi gissningen för konvexa domäner jakande i alla dimensioner.