Frobenius determinantsats

Inom matematiken var Frobenius determinantsats en gissning som gjordes 1896 av matematikern Richard Dedekind , som skrev ett brev till FG Frobenius om det (återges i ( Dedekind 1968 ), med en engelsk översättning i ( Curtis 2003 , s. 51)) .

Om man tar multiplikationstabellen för en finit grupp G och ersätter varje post g med variabeln x _g , och därefter tar determinanten , då determinantfaktorerna är en produkt av n irreducerbara polynom, där n är antalet konjugationsklasser. Dessutom höjs varje polynom till en potens lika med dess grad. Frobenius bevisade denna överraskande gissning, och den blev känd som Frobenius determinantsats.

Formellt uttalande

Låt en finit grupp $G$ ha element $g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}$ , och låt ${ \displaystyle x_{g_{i}}}$ associeras med varje element i $G$ . Definiera matrisen $X_{G}$ med poster $a_{ij}=x_{g_{i}g_{j}}$ . Sedan

$\det X_{G}=\prod _{j=1}^{ r}P_{j}(x_{g_{1}},x_{g_{2}},\dots ,x_{g_{n}})^{\deg P_{j}}$

där $P_{j}$ är parvisa icke-proportionella irreducerbara polynom och $r$ är antalet konjugationsklasser av G .

•    Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur och Brauer , History of Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/S0273-0979-00-00867-3 , ISBN 978-0-8218-2677-5 , MR 1715145 recension
•    Dedekind, Richard (1968) [1931], Fricke, Robert; Noether, Emmy ; Ore, öystein (red.), Gesammelte mathematische Werke. Bände I–III , New York: Chelsea Publishing Co., JFM 56.0024.05 , MR 0237282
• Etingof, Pavel (2005). "Föreläsningar om representationsteori" (PDF) .
•    Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (red.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7 , MR 0235974