Fractional Laplacian

Inom matematik är bråktalet Laplacian en operator, som generaliserar begreppet rumsliga derivator till bråkpotenser.

Definition

För $0<s<1$ , kan bråkdelen Laplacian av ordningen s $(-\Delta )^{s}$ definieras på funktionerna $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ som en Fouriermultiplikator som ges av formeln

${\mathcal {F}}((-\Delta )^{s}f))(\xi )=|\xi |^{2s}{\mathcal {F }}(f)(\xi)$

där Fouriertransformen ${\mathcal {F}}(f)$ av en funktion $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb { R}$ ges av

${\mathcal {F}}(f)(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{f(x)e^{-ix\cdot \xi }\ ,dx}.$

Mer konkret kan bråkdelen Laplacian skrivas som en singular integraloperator definierad av

$(-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{{\frac { f(x)-f(y)}{|xy|^{d+2s}}}\,dy}$

där $c_{d,s}={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}$ . Dessa två definitioner, tillsammans med flera andra definitioner, är likvärdiga.

Vissa författare föredrar att anta konventionen att definiera bråkdelen Laplacian av ordningen s som $(-\Delta )^{s/2}$ (enligt definitionen ovan), där nu $0<s<2$ , så att begreppet ordning matchar det för en (pseudo-)differentialoperator .

Se även

• Bråkräkning
• Icke-lokal operatör
• Riemann-Liouville integral

externa länkar

• " Fractional Laplacian ". Nonlocal Equations Wiki, Institutionen för matematik, University of Texas i Austin.