Fréedericksz övergång

Fréedericksz -övergången är en fasövergång i flytande kristaller som produceras när ett tillräckligt starkt elektriskt eller magnetiskt fält appliceras på en flytande kristall i ett oförvrängt tillstånd. Under en viss fälttröskel regissören oförvrängd. När fältvärdet gradvis ökas från detta tröskelvärde, börjar regissören vrida sig tills den är i linje med fältet. På detta sätt kan Fréedericksz-övergången ske i tre olika konfigurationer kända som vridnings-, böj- och spridningsgeometrier. Fasövergången observerades första gången av Fréedericksz och Repiewa 1927. I deras första experiment var en av cellens väggar konkav för att producera en variation i tjocklek längs cellen . Fasövergången är uppkallad efter den ryske fysikern Vsevolod Frederiks .

Härledning

Vridgeometri

Ett diagram som visar vridningsgeometrin, där $E_{t}$ är det elektriska tröskelfältet.

Om en nematisk flytande kristall som är instängd mellan två parallella plattor som inducerar en plan förankring placeras i ett tillräckligt högt konstant elektriskt fält så kommer riktaren att förvrängas. Om fältet under noll är riktaren inriktad längs x-axeln, då vid applicering av ett elektriskt fält längs y-axeln ges riktningen av:

$\mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y }}$

$n_{x}=\cos {\theta (z)}$

$n_{y}=\sin { \theta (z)}$

Under detta arrangemang blir den distorsionsfria energitätheten :

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac { d\theta }{dz}}\right)^{2}$

Den totala energin per volymenhet lagrad i distorsionen och det elektriska fältet ges av:

$U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\ frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^ {2}{\theta }$

Den fria energin per ytenhet är då:

$F_{A}=\int _{0}^{d}{ \frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{ 0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz\,$

Att minimera detta med hjälp av variationskalkyl ger:

$\left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0$

$K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}} }\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0$

Att skriva om detta i termer av $\zeta ={\frac {z}{d}}$ och ${\displaystyle \xi _{d} =d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}} där d {\$ displaystyle $}$ är separationsavståndet mellan de två plattorna resulterar i att ekvationen förenklas till:

$\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\ zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0$

Genom att multiplicera båda sidor av differentialekvationen med ${\frac {d\theta }{d\zeta }}$ kan denna ekvation förenklas ytterligare enligt följande:

${\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{ d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}} \xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta}{d\zeta}}\right)^{2}\ höger)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0$

$\int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{ 2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta}{d\zeta}}\right)^{2}\right)+{\frac {1 }{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta}\right)\,d\zeta \,=0$

${\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}$

Värdet $_{m}}$$\zeta =1/2$ är värdet på $\theta$ när . Ersätter $k=\sin {\theta _{m}}$ och $t={\frac {\sin {\theta }}{ \sin {\theta _{m}}}}$ i ekvationen ovan och integrering med avseende på $t$ från 0 till 1 ger:

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\ sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}$

Värdet K(k) är den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget . Genom att notera att $K(0)={\frac {\pi }{2}}$ får man slutligen det elektriska tröskelfältet $E_{t}$ .

$E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\ Delta \chi _{e}}}}$

Som ett resultat kan man genom att mäta det elektriska tröskelfältet effektivt mäta Frank vridkonstanten så länge som anisotropin i den elektriska känsligheten och plattseparationen är känd.

Anteckningar

•   Collings, Peter J.; Hird, Michael (1997). Introduktion till flytande kristaller: kemi och fysik . Taylor & Francis Ltd. ISBN 0-7484-0643-3 .
•   de Gennes, Pierre-Gilles ; Prost, J. (10 augusti 1995). The Physics of Liquid Crystals (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-851785-8 .
•   Fréedericksz, V.; Repiewa, A. (1927). "Theoretisches und Experimentelles zur Frage nach der Natur der anisotropen Flüssigkeiten". Zeitschrift für Physik . 42 (7): 532–546. Bibcode : 1927ZPhy...42..532F . doi : 10.1007/BF01397711 . S2CID 119861131 .
• Fréedericksz, V.; Zolina, V. (1933). "Krafter som orsakar orienteringen av en anisotrop vätska". Trans. Faraday Soc . 29 (140): 919–930. doi : 10.1039/TF9332900919 .
•   Priestley, EB; Wojtowicz, Peter J.; Sheng, Ping (1975). Introduktion till flytande kristaller . Plenum Press. ISBN 0-306-30858-4 .
• Zöcher, H. (1933). "Effekten av ett magnetfält på det nematiska tillståndet". Transaktioner från Faraday Society . 29 (140): 945–957. doi : 10.1039/TF9332900945 .