Fourier amplitud känslighetstestning

Fourier amplitud sensitivity testing (FAST) är en variansbaserad global känslighetsanalysmetod . Känslighetsvärdet definieras baserat på villkorade varianser som indikerar de individuella eller gemensamma effekterna av de osäkra ingångarna på utgången.

FAST representerar först villkorliga varianser via koefficienter från den multipla Fourierserieexpansionen av utgångsfunktionen. Sedan tillämpas den ergotiska satsen för att transformera den flerdimensionella integralen till en endimensionell integral vid utvärdering av Fourierkoefficienterna. En uppsättning av inkompatibla frekvenser krävs för att utföra transformationen och de flesta frekvenser är irrationella. För att underlätta beräkningen väljs en uppsättning heltalsfrekvenser istället för de irrationella frekvenserna. Heltalsfrekvenserna är inte strikt inkommensura, vilket resulterar i ett fel mellan den flerdimensionella integralen och den transformerade endimensionella integralen. Emellertid kan heltalsfrekvenserna väljas så att de inte står i proportion till vilken ordning som helst så att felet kan kontrolleras och uppfyller alla teoretiska precisionskrav. Genom att använda heltalsfrekvenser i integraltransformen är den resulterande funktionen i den endimensionella integralen periodisk och integralen behöver bara utvärderas under en enda period. Sedan, eftersom den kontinuerliga integralfunktionen kan återvinnas från en uppsättning ändliga samplingspunkter om Nyquist–Shannons samplingssats är uppfylld, utvärderas den endimensionella integralen från summeringen av funktionsvärden vid de genererade samplingspunkterna.

FAST är effektivare att beräkna känsligheter än andra variansbaserade globala känslighetsanalysmetoder via Monte Carlo-integration . Men beräkningen av FAST är vanligtvis begränsad till känsligheter som kallas "huvudeffekter" eller "första ordningens effekter" på grund av den beräkningsmässiga komplexiteten vid beräkning av högre ordningens effekter.

Historia

FAST-metoden har sitt ursprung i studier av kopplade kemiska reaktionssystem 1973 och den detaljerade analysen av beräkningsfelet presenterades senare 1975. Endast första ordningens känslighetsindex som hänvisar till "huvudeffekt" beräknades i den ursprungliga metoden. Ett FORTRAN- datorprogram med förmåga att analysera antingen algebraiska eller differentialekvationssystem publicerades 1982. På 1990-talet avslöjades förhållandet mellan FAST-känslighetsindex och Sobols som beräknats från Monte-Carlo-simulering i det allmänna ramverket för ANOVA -liknande nedbrytning och en utökad FAST-metod som kan beräkna känslighetsindex med hänvisning till "total effekt" utvecklades.

fundament

Variansbaserad känslighet

Känslighetsindex för en variansbaserad metod beräknas via ANOVA-liknande nedbrytning av funktionen för analys. Antag att funktionen är $Y=f\left(\mathbf {X} \right)=f\left(X_{1} ,X_{2},\dots ,X_{n}\right)$ där $0\leq X_{j}\leq 1,j=1,\ prickar ,n$ . Den ANOVA-liknande nedbrytningen är

f\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=f_{0}+\summa _{j=1} ^{n}f_{j}\left(X_{j}\right)+\sum _{j=1}^{n-1}\summa _{k=j+1}^{n}f_{jk }\left(X_{j},X_{k}\right)+\cdots +f_{12\dots n}

förutsatt att $f_{0}$ är en konstant och integralen för varje term i summorna är noll, dvs.

\int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ prickar ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{k}}=0,{\text{ }}1\leq k\leq r.

Den villkorliga variansen som kännetecknar bidraget från varje term till den totala variansen av $f\left(\mathbf {X} \right)$ är

V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_ {2}\dots j_{r}}^{2}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{ 1}}dX_{j_{2}}\dots dX_{j_{r}}.

Den totala variansen är summan av alla villkorade varianser

V=\sum _{j=1}^{n}V_{j}+\sum _{j=1}^{n-1}\summa _{k=j+1}^{n} V_{jk}+\cdots +V_{12\dots n}.

Känslighetsindexet definieras som den normaliserade villkorliga variansen som

S_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}={\frac {V_{j_{1}j_ {2}\dots j_{r}}}{V}}

speciellt första ordningens känslighet

S_{j}={\frac {V_{j}}{V}}

som indikerar huvudeffekten av ingången $X_{j}$ .

Flera Fourier-serier

Ett sätt att beräkna den ANOVA-liknande nedbrytningen är baserat på flera Fourier-serier. Funktionen $f\left(\mathbf {X} \right)$ i enhetens hyperkub kan utökas till en periodisk multipliceringsfunktion och den multipla Fourier-seriens expansion är

f\left(X_{1 },X_{2},\dots ,X_{n}\right)=\summa _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\summa _{m_{2}=-\infty }^ {\infty }\cdots \sum _{m_{n}=-\infty }^{\infty }C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}\exp {\bigl [}2 \pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]},{\text{ för heltal }}m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}

där Fourierkoefficienten är

C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{ 1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\exp {\bigl [}-2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2} +\dots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.

Den ANOVA-liknande nedbrytningen är

{\begin{aligned}f_{0}&=C_{00\dots 0}\\f_{j}&=\summa _{m_{j}\neq 0}C_{0\dots m_{j }\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi im_{j}X_{j}{\bigr ]}\\f_{jk}&=\summa _{m_{j}\neq 0}\summa _{m_{k}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots m_{k}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{j}X_{j }+m_{k}X_{k}\right){\bigr ]}\\f_{12\dots n}&=\summa _{m_{1}\neq 0}\summa _{m_{2}\ neq 0}\cdots \sum _{m_{n}\neq 0}C_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{ 1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.\end{aligned}}

Den första ordningens villkorliga varians är

{\begin{aligned}V_{j}&=\int _{0}^{1}f_{j}^ {2}\left(X_{j}\right)dX_{j}\\&=\summa _{m_{j}\neq 0}\left|C_{0\dots m_{j}\dots 0}\ höger|^{2}\\&=2\summa _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^ {2}\right)\end{aligned}}

där $A_{m_{j}}$ och $B_{m_{j}}$ är den verkliga och imaginära delen av $C_{0\dots m_{j}\dots 0}$ respektive

$A_{m_{j }}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\ cos \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

$B_{m_{j }}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\ sin \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

Ergodisk teorem

En flerdimensionell integral måste utvärderas för att kunna beräkna Fourierkoefficienterna. Ett sätt att utvärdera denna flerdimensionella integral är att omvandla den till en endimensionell integral genom att uttrycka varje indata som en funktion av en ny oberoende variabel s {\ $s}$ , enligt följande

X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2 \pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right),j=1,2,\dots ,n

där $\left\{\omega _{j}\right\}$ är en uppsättning inkommensurerade frekvenser, dvs.

\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}=0

för en heltalsuppsättning av $\left\{\gamma _{j}\right\}$ om och endast om $\gamma _{j}=0$ för varje $j$ . Då kan Fourierkoefficienterna beräknas med en endimensionell integral enligt den ergotiska satsen

$A_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (} X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos {\bigl (} 2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

$B_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (} X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin {\bigl (} 2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

Genomförande

Heltalsfrekvenser

Som mest kan en av de inkommensura frekvenserna $\left\{\omega _{j}\right\}$ vara rationell med alla andra irrationella. Eftersom det numeriska värdet av ett irrationellt tal inte kan lagras exakt i en dator, krävs en approximation av de inkompatibla frekvenserna med alla rationella tal vid implementering. Utan förlust av någon allmänhet kan frekvenserna ställas in som heltal istället för vilka rationella tal som helst. En uppsättning heltal $\left\{\omega _{j}\right\}$ är ungefär inkompatibel med ordningen $M$ om

\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}\neq 0

för

\sum _{j=1}^{n}\left|\gamma _{j}\right|\leq M+1

där $M$ är ett heltal. Det exakta inkommensurala tillståndet är ett extremfall när $M\to \infty$ .

Med hjälp av heltalsfrekvenserna är funktionen i den transformerade endimensionella integralen periodisk så endast integrationen över en period av $2\pi$ krävs. Fourierkoefficienterna kan ungefärligen beräknas som

{\begin{aligned}A_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (} X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos \left(m_{ j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {A}}_{m_{j}}\\B_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\ pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_ {n}\left(s\right){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {B}}_{m_{j} }\end{aligned}}

Approximationen av de inkommensurerade frekvenserna för en finit $M$ resulterar i ett diskrepansfel mellan de sanna Fourierkoefficienterna ${\displaystyle A_{m_{j}}} ,$ B $\displaystyle B_{m_{ j}}}$ och deras uppskattningar ${\hat {A}}_{m_{j}}$ , ${\hat {B}}_{m_{j} }$ . Ju större ordning $M$ är desto mindre är felet men desto mer beräkningsansträngningar krävs för att beräkna skattningarna i följande procedur. I praktiken $M$ ofta satt till 4 och en tabell över resulterande frekvensuppsättningar som har upp till 50 frekvenser är tillgänglig. (McRae et al., 1982)

Sökkurva

Transformen, $X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left( \omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right)$ , definierar en sökkurva i inmatningsutrymmet. Om frekvenserna, ${\displaystyle \omega _{j},j=1,\dots ,n} ,$ är inkommensura, kan sökkurvan passera genom varje punkt i inmatningsutrymmet som $s$ varierar från 0 till $\infty$ så att den flerdimensionella integralen över inmatningsutrymmet exakt kan omvandlas till en endimensionell integral längs sökkurvan. Men om frekvenserna är approximativt inkompatibla heltal, kan sökkurvan inte passera genom varje punkt i inmatningsutrymmet. Om faktum är att sökningen upprepas eftersom transformeringsfunktionen är periodisk, med en period på $2\pi$ . Den endimensionella integralen kan utvärderas över en enstaka period istället för det oändliga intervallet för inkompatibla frekvenser; Ett beräkningsfel uppstår dock på grund av approximationen av inkommensuriteten.

Sökkurva
Sökkurvan för ω ₁ =π och ω ₂ =7. Eftersom frekvenserna är inkompatibla, upprepas inte sökkurvan och kan passera genom varje punkt på torget
Sökkurvan för ω ₁ =3 och ω ₂ =7. Eftersom frekvenserna är heltal, som är ungefär inkompatibla, upprepas sökkurvan och kan inte passera genom varje punkt på kvadraten
Sökkurvan för ω ₁ =11 och ω ₂ =7. Eftersom frekvenserna är heltal, som är ungefär inkompatibla, upprepas sökkurvan och kan inte passera genom varje punkt på kvadraten

Provtagning

Den approximerade Fourier kan ytterligare uttryckas som

{\hat {A}} _{m_{j}}={\begin{cases}0&m_{j}{\text{ udda}}\\{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{ \pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text { even}}\end{cases}}

och

{\hat {B}} _{m_{j}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ udda}}\\0&m_{j}{\text { even}}\end{cases}}

Integralerna som inte är noll kan beräknas från samplingspunkter

{\begin{aligned}{\hat {A}}_{m_{j}}& ={\frac {1}{2q+1}}\summa _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ jämn}}\\{\hat {B}}_{m_{j}}&= {\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\sin \ vänster(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ udda }}\end{aligned}}

där den enhetliga samplingspunkten i $\left[-\pi /2,\pi /2\right]$ är

s_{k}={\frac {\pi k}{2q+1}},k=-q,\dots ,-1,0,1,\dots ,q.

Det totala antalet samplingspunkter är $2q+1$ vilket bör uppfylla Nyquists samplingskriterium, dvs.

2q+1\geq N\omega _{max}+1

där $\omega _{max}$ är den största frekvensen i $\left\{\omega _{k}\right\}$ och $N$ är den maximala ordningen för de beräknade Fourierkoefficienterna.

Delsumma

Efter beräkning av de uppskattade Fourierkoefficienterna kan den första ordningens villkorade varians approximeras med

{\begin{aligned}V_{j}&=2\summa _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\\&\ca 2\ summa _{m_{j}=1}^{\infty }\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j} }^{2}\right)\\&\ca 2\summa _{m_{j}=1}^{2}\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2} +{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&=2\left({\hat {A}}_{m_{j}=2}^{2} +{\hat {B}}_{m_{j}=1}^{2}\right)\end{aligned}}

där endast delsumman av de två första termerna beräknas och $N=2$ för att bestämma antalet samplingspunkter. Att använda delsumman kan vanligtvis ge en tillräckligt bra approximation av den totala summan eftersom termerna som motsvarar grundfrekvensen och låga ordningsfrekvenser vanligtvis bidrar mest till den totala summan. Dessutom är Fourierkoefficienten i summeringen bara en uppskattning av det verkliga värdet och att lägga till fler termer av högre ordning kommer inte att förbättra beräkningsnoggrannheten avsevärt. Eftersom heltalsfrekvenserna inte är exakt inkommensurerade finns det två heltal $m_{j}$ och $m_{k}$ så att $m_{j}\omega _{j}=m_{k}\omega _{k}.$ Interferens mellan de två frekvenserna kan uppstå om termer av högre ordning ingår i summeringen.

På liknande sätt kan den totala variansen av $f\left(\mathbf {X} \right)$ beräknas som

V\approx {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]-{\hat {A} }_{0}\left[f\right]^{2}

där ${\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]$ anger den beräknade Fourierkoefficienten för funktionen av $f^{ 2}$ innanför parentesen och ${\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}$ är den kvadratiska Fourierkoefficienten för funktionen ${\ displaystil f}$ . Slutligen kan känsligheten för huvudeffekten av en indata beräknas genom att dividera den villkorliga variansen med den totala variansen.

^ Cukier, RI, CM Fortuin, KE Shuler, AG Petschek och JH Schaibly (1973). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. I Teori. Journal of Chemical Physics , 59 , 3873–3878.
^ Schaibly, JH och KE Shuler (1973). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. II Tillämpningar. Journal of Chemical Physics , 59 , 3879–3888.
^ Cukier, RI, JH Schaibly och KE Shuler (1975). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. III. Analys av approximationerna. Journal of Chemical Physics , 63 , 1140–1149.
^ McRae, GJ, JW Tilden och JH Seinfeld (1982). Global känslighetsanalys – en beräkningsimplementering av Fourier Amplitude Sensitivity Test (FAST). Computers & Chemical Engineering , 6 , 15–25.
^ Archer GEB, A. Saltelli och IM Sobol (1997). Känslighetsmått, ANOVA-liknande tekniker och användning av bootstrap. Journal of Statistical Computation and Simulation , 58 , 99–120.
^ Saltelli A., S. Tarantola och KPS Chan (1999). En kvantitativ modelloberoende metod för global känslighetsanalys av modellutdata. Technometrics , 41 , 39–56.
^ Weyl, H. (1938). Enorm rörelse. American Journal of Mathematics , 60 , 889–896.

[1] Cukier, RI, CM Fortuin, KE Shuler, AG Petschek och JH Schaibly (1973). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. I Teori. Journal of Chemical Physics , 59 , 3873–3878.

[2] Schaibly, JH och KE Shuler (1973). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. II Tillämpningar. Journal of Chemical Physics , 59 , 3879–3888.

[3] Cukier, RI, JH Schaibly och KE Shuler (1975). Studie av kopplade reaktionssystems känslighet för osäkerheter i hastighetskoefficienter. III. Analys av approximationerna. Journal of Chemical Physics , 63 , 1140–1149.

[4] McRae, GJ, JW Tilden och JH Seinfeld (1982). Global känslighetsanalys – en beräkningsimplementering av Fourier Amplitude Sensitivity Test (FAST). Computers & Chemical Engineering , 6 , 15–25.

[5] Archer GEB, A. Saltelli och IM Sobol (1997). Känslighetsmått, ANOVA-liknande tekniker och användning av bootstrap. Journal of Statistical Computation and Simulation , 58 , 99–120.

[6] Saltelli A., S. Tarantola och KPS Chan (1999). En kvantitativ modelloberoende metod för global känslighetsanalys av modellutdata. Technometrics , 41 , 39–56.

[7] Weyl, H. (1938). Enorm rörelse. American Journal of Mathematics , 60 , 889–896.